Hallo Anni,
f(x) = 2/x² + 1 Df = [-3;3] \ {0} (!) (vgl. unten #)
f '(x) = - 4 / x3
f '(x) < 0 für x > 0 → f streng monoton fallend in ] 0 ; 3 ]
f '(x) > 0 für x < 0 → f streng monoton steigend in [ -3 ; 0 [
limx→ 0+ f(x) = limx→ 0- f(x) = ∞ ; f( ± 3) = 11/9
→ Wf = [ 11/9 ; ∞ [
Die Funktion hat auf den größtmöglichen Teilmengen ] 0 ; 3 ] und [ -3 ; 0 [ des Definitionsbereichs für alle x-Werte verschieden Funktionwerte, ist dort also jeweils injektiv.
Wegen f(1) = f(-1) = 2 ist sie über D nicht injektiv.
Eine Funtion f: D → Wf ist immer surjektiv.
Die Graphen der eingeschränkten Umkehrfunktionen erhältst du jeweils durch Spiegelung des Graphenteilstücks an der 1. Winkelhalbierenden.
-----
#
Falls f(x) = 2 / (x2 + 1) gemeint ist, erfolgt die Betrachtung analog:
Df = [ -3 ; 3 ] ; f(±3) = 1/5
f '(x) = - 4·x / (x2 + 1)2
→ Hochpunkt (0|2) → Wf = ] 1/5 ; 2 ]
f '(x) < 0 für x > 0 → f streng monoton fallend in [ 0 ; 3 ]
f '(x) > 0 für x < 0 → f streng monoton steigend in [ -3 ; 0 [
Gruß Wolfgang
