Neuer Wissensbeitrag: Zahlenmengen - Darstellung der Zahlenmengen in Grafik korrekt?

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Ich schreibe derzeit an einem neuen Artikel über die Zahlenmengen, hier abrufbar: https://www.matheretter.de/w/zahlenmengen

Inhalte: 

  • Einführung Zahlenmengen
  • Entstehung der Zahlen
  • Natürliche Zahlen
  • Ganze Zahlen
  • Rationale Zahlen
  • Irrationale Zahlen
  • Transzendente Zahlen
  • Reelle Zahlen
  • Grafik zur Darstellung der Zahlenmengen
  • Teilmenge der Reellen Zahlen
  • Komplexe Zahlen
  • Darstellung der komplexen Zahlen im Koordinatensystem
  • Imaginäre Zahlen
  • Quaternionen
  • Zahlenmengen Übersicht und Grafik


Jetzt möchte ich am Ende noch eine neue Grafik setzen, die ich wie folgt erstellt habe: 

Bild Mathematik


Ich habe die Irrationalen Zahlen getrennt, einmal in nicht-transzendent und transzendent. Zudem ist die Menge der reellen Zahlen mit Rechteck umschließend dargestellt sowie die komplexen Zahlen darum. 

Geht das eurer Erfahrung nach in Ordnung?

Danke und schöne Grüße
Kai

geschlossen: erledigt
Gefragt vor 6 Tagen von Kai Noack

1. Ist jede ganze Zahl rational ?
   Ist jede rationale Zahl irrational ?

2. Was liegt zwischen den irrationalen (transzendenten) und den reellen Zahlen ?

1a. Die ganzen Zahlen gehören zur Menge der rationalen Zahlen. 

1b. Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen sind keine Teilmenge der irrationalen Zahlen. 

Stimmt, hier verwirrt der umschließende Kreis.

2. Liegt? Du meinst \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \).

Meine frühere Grafik zu den Zahlenmengen hatte irrationale und rationale Zahlen so dargestellt: 

Bild Mathematik

Hier ist die neue Version: 

Bild Mathematik

Habe nun statt Kreisen sinnvollere Kästen gewählt.

Was genau befindet sich in der weissen Fläche in beiden Graphiken? 

Wenn nichts drinn ist, sollte da keine weisse Fläche zu sehen sein, wenn noch die komplexen Zahlen in die Graphik integriert werden. 

"Irrational" und "irrational transzendent" sind vermutlich keine Zahlenmengen ohne Überlappung. 

@Neue Darstellung:

Einmal hast du disjunkte Kästchen mit einem übergeordneten Begriff darüber. Durch den Kasten mit dem Namen entsteht wieder ein Bereich ohne Inhalt (Leere Menge) bei Irrational I, Reelle Zahlen R . 

1. "Wenn nichts enthalten, sollte keine Fläche zu sehen sein." 

Ich könnte einfach zwei Striche von der Überschrift "Reelle Zahlen" zu den Kästen Rational und Irrational einzeichnen, dann würde kein Kasten benötigt. 

2. Komplex könnte ich dann umschließend stehen lassen. 

3. Nebenfrage (kenne mich mit Mengennotationen nicht so gut aus), ob diese Notation korrekt ist: 

\( \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb R \subset \mathbb C  \) bzw: \( \mathbb N \subset \mathbb Z \subset (\mathbb{Q} \cup \mathbb{I})  \subset \mathbb C  \)

Danke.


Neue Grafik: 

Bild Mathematik

Die Kästen in der oberen Zeichnung waren da übersichtlicher.

Beim "Kasten" irrational I ist das Problem immer noch vorhanden. 


Zudem: Welches Lehrbuch (Bundesland) verwendet die Abkürzung I und den Begriff irrational ? Wo/wann wird "algebraisch nicht rational" und "transzendent nicht rational" eingeführt?

NZRC bzw: (

Interessant, dass wir gerade aufdecken, dass die meisten Darstellungen im Internet fehlerhaft sind. Viele Abbildungen zeigen ℝ tatsächlich als umschließende Menge von ℚ und I. 

Die Unterscheidung von "algebraisch irrational" und "transzendent irrational" hatte ich zuerst im Englischen entdeckt. Danach fand ich die Unterteilung bei der Wikipedia. Dort steht auch die Schreibweise mit \( \mathbb{I} \)

Deine Mengennotation scheint unvollständig? 

Hier ist die neueste Version der Grafik: 

Bild Mathematik

Solche Mengendiagramme folgen sinnvollerweise irgendeiner Systematik. Irgendwelche "Darstellungen im Internet" sind oft Zusammenfassungen verschiedener Quellen, denen jeweils eine unterschiedliche Systematik zugrunde liegt, weswegen sie dann eben notwendigerweise unsystematisch sind. Das trifft auch auf dieses Diagramm zu.

Die Kunst der Darstellung liegt auch in der Beschränkung: Verzichtet man auf den ohnehin unglücklichen Begriff "irrationale Zahl" und auch auf den  in der Schulmathematik nicht sehr verankerten Begriff "transzendent irrational" und betrachtet statt die "algebraisch irrationalen Zahlen" gleich die algebraischen Zahlen, dann kommt man auch auf eine echte Teilmengenkette

natürliche Zahlen
ganze Zahlen
rationale Zahlen
algebraische Zahlen
reelle Zahlen
komplexe Zahlen

Will man dann noch die jeweils neu hinzukommenden Zahlen irgendwie benennen, dann kann man das natürlich immer noch machen, muss das aber nicht im Diagramm selbst tun.

Eine striktere Systematik hat zudem den Vorteil, dass sie immer noch offen ist für Zahlenmengen die noch irgendwie dazwischen oder etwa jenseits der komplexen Zahlen liegen.

Guter und systematischer Vorschlag von az0815! 

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