Ableitung von Potenzfunktionen wie f(x) = x^{1/3}

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion.

a) \( f(x)=x^{\frac{1}{3}} \)
b) \( f(x)=\sqrt{x} \)
c) \( f(x)=\frac{1}{x^{3}} \)
d) \( f(x)=x^{\frac{3}{2}} \)
e) \( f(x)=\sqrt[4]{x} \)
f) \( f(x)=\sqrt[6]{x} \)
g) \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \)
h) \( f(x)=x^{\frac{3}{4}} \)

Answer 1

  9a)          $$f(x)=x^\frac{1}{3}$$

$$ \text{allgemein }f'(x)=n\cdot x^{n-1}\\f'(x)=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}\\ =\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\\ =\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$$

b)

$$f(x) =\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\\ =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\ =\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \text{usw.}$$