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Sei A = (aij)i,j ∈ Rp×p eine Matrix über einem kommutativen Ring R. Die Spur tr(A) einer Matrix ist definiert als die Summe der Diagonaleinträge, d.h. tr(A) := ∑pi=1 aii. Die transponierte Matrix A^T von A ist als ATi,j = Ai,j definiert. Außerdem gilt tr(A^T) = tr(A).

Zeige, dass für die Matrizen A ∈ Rp×q und B ∈ Rq×p gilt: tr(A·B) = tr(B·A).


Hey ihr lieben, diese Aufgabe beschäftigt mich jetzt schon seit Stunden und ich komme nicht vorran. Kann mir jemand zeigen, wie man sie löst?

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Hi. Diese Aufgabe versuche ich auch gerade zu lösen. Bist du weiter gekommen?

3 Antworten

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Beste Antwort

Das Element ck,k des Produktes A*B ist

$${c}_{k,k}= \sum_{n=1}^{q}{{a}_{k,n}*{b}_{n,k}} $$

Bei B*A ist es entsprechend

$${d}_{i,i}= \sum_{m=1}^{p}{{b}_{i,m}*{a}_{m,i}} $$

Also gilt für die Spuren

$$tr(A*B)= \sum_{k=1}^{p}{c}_{k,k}$$
$$= \sum_{k=1}^{p}{ \sum_{n=1}^{q}{{a}_{k,n}*{b}_{n,k}} }$$

und

$$tr(B*A)= \sum_{i=1}^{q}{d}_{i,i}$$
$$= \sum_{i=1}^{q}{ \sum_{m=1}^{p}{{b}_{i,m}*{a}_{m,i}}  }$$

$$= \sum_{i=1}^{q}{ \sum_{m=1}^{p}{{a}_{m,i}}*{b}_{i,m} }$$

Jetzt noch die Reihenfolge der Summation vertauschen und

es ist fertig.

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setze \(X=A\cdot B\) und \(Y=B\cdot A\).
Nach Definition der Matrixmultiplikation gilt für die Diagonalelemente$$x_{ii}=\sum_{k=1}^qa_{ik}b_{ki},\,i=1,\dots,p\quad\text{sowie}\quad y_{kk}=\sum_{i=1}^pb_{ki}a_{ik},\,k=1,\dots,q.$$Nach Definition der Spur gilt$$\operatorname{tr}(X)=\sum_{i=1}^px_{ii}=\sum_{i=1}^p\sum_{k=1}^qa_{ik}b_{ki}=\sum_{k=1}^q\sum_{i=1}^pb_{ki}a_{ik}=\sum_{k=1}^qy_{kk}=\operatorname{tr}(Y).$$Daraus folgt die Behauptung.

MfG

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Danke nn <3, deine Antwort hat mir sehr geholfen. Leider hat es nicht ganz funktioniert mehrere Antworten als beste auszuwählen... : /

+1 Daumen

Seien M = (mij), A = (aij), B = (bij) Matrizen mit M = A·B, dann ist mij = ∑k=1..p aikbkj für alle i,j=1..p. Insbesondere ist

        mii = ∑k=1..p aikbki für alle i =1..p.

Also ist tr(A·B) = i=1..pk=1..p aikbki.

Analog dazu ist tr(B·A) = i=1..pk=1..p bikaki.

Zeige dass ∑i=1..pk=1..p aikbki = ∑i=1..pk=1..p bikaki ist.

Avatar von 105 k 🚀

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