Matrix als Produkt von Additionsmatrizen und Matrizen in einer bestimmten Form schreiben.

Question

Für einen kommutativen Ring R sei

Weiter seien ℤ/5ℤ der Körper mit 5 Elementen und π: SL₂(ℤ) → SL₂(ℤ/5ℤ) durch

definiert. Außerdem wissen wir aus einer vorheringen Teilaufgabe, dass für jeden kommutativen Ring R die Menge SL₂(R) eine Untergruppe von GL₂(R) ist.

Sei nun ∈ SL₂(ℤ/5ℤ) fest aber beliebig. Schreiben Sie A mit Hilfe des Gauß-Verfahrens als Produkt von Additionsmatrizen und Matrizen der Form

bzw.  mit α ∈ (ℤ/5ℤ)^x.

Hallo. Ich brauche Hilfe diese Aufgabe zu lösen. Den Anfang verstehe ich noch, die "Form" verwirrt mich allerdings. Kann mir jemand zeigen, wie die Lösung zu dieser Aufgabe aussehen könnte? Ganz <3-lichen Dank im Voraus! Lg Laura

Answer 1

Hallo Laura,

um eine Matrix als Produkt darzustellen, versuchst du am besten diese mittels bekannter Verfahren in Treppenform zu bringen. Da SL₂ (R) ≤ GL₂ (R) für jeden Ring R ist (das hast du ja schon gezeigt), gilt: Die Treppenform von A ist die Einheitsmatrix I₂ . Achtung!: Du darfst nur die dir zur Verfügung gestellten Matrizen als Operanden benutzen (also beliebig multiplizieren geht nicht). Dein Produkt erhältst du wenn du die Inversen der benutzten Operanden in umgekehrter Reihenfolge ausführst.

Eine mögliche Lösung wäre damit:

(A1 und A2 sind die beiden erlaubten Additionsmatrizen)

Versuch nachzuvollziehen warum die einzelnen Schritte funktionieren und rechne es selber nach. Warum gilt, dass A in Treppenform I₂ ist? Warum darf man durch a teilen (bzw. warum muss a eine Einheit sein)?

Ich hoffe ich konnte dir weiter helfen.

Lg Jannis

Comments

Danke Jannis! Ich probier das gleich mal aus (: