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kann mir jemand bitte helfen bei der Aufgabe:

Zeigen Sie, dass f mit f(x)=e0,25x-2-e0,5x, x∈ℝ in x= -4•ln(2) eine Exatremstelle hat. Bestimmen Sie Art und Lage des zugehörigen Extrempunktes. 


Liebe Grüße 

Nancy

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Hier meine Berechnungen

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Das Ergebnis stimmt

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

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Berechnung der Extremstelle:

Du mußt dann noch den Nachweis erbringen , was es ist.

Bild Mathematik

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Ich mache mal eine vollständige Kurvendiskussion

Funktion & Ableitungen

f(x) = e^{1/4·x} - e^{1/2·x} - 2

f'(x) = 1/4·e^{1/4·x} - 1/2·e^{1/2·x}

f''(x) = 1/16·e^{1/4·x} - 1/4·e^{1/2·x}


Symmetrie

Keine untersuchte Symmetrie


Verhalten im Unendlichen

lim (x --> - ∞) = e^{1/4·x} - e^{1/2·x} - 2 = - 2

lim (x --> ∞) = e^{1/4·x} - e^{1/2·x} - 2 = - ∞


Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = - 2


Nullstellen f(x) = 0

e^{1/4·x} - e^{1/2·x} - 2 = 0

z - z^2 - 2 = 0 --> Keine Lösung


Extrempunkte f'(x) = 0

1/4·e^{1/4·x} - 1/2·e^{1/2·x} = 0

1/4·z - 1/2·z^2 = 0 --> z = 1/2 ∨ z = 0

e^{1/4·x} = 1/2 --> x = - 4·LN(2) = - 2.773


f(- 4·LN(2)) = - 7/4 = - 1.75 --> HP(- 2.773 | - 1.75)


Wendepunkte f''(x) = 0

1/16·e^{1/4·x} - 1/4·e^{1/2·x} = 0

1/16·z - 1/4·z^2 = 0 --> z = 1/4 ∨ z = 0

e^{1/4·x} = 1/4 --> x = - 8·LN(2) = - 5.545


f(- 8·LN(2)) = - 29/16 = -1.813 --> WP(- 5.545 | -1.813)


Weil es mehrere Möglichkeiten gibt die Art des Extremums zu bestimmen lasse ich dir die Wahl.

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