Beweise: Wenn Rang(A) = r, wobei A m×n-Matrix mit Einträgen in K, dann gibt es ... mit A=BC.

Question

Es sei A eine m × n-Matrix mit Einträgen in K.

a) Zeigen Sie: Ist Rang(A) = r, dann gibt es Matrizen B ∈ Mat_m×r(K) und C ∈ Mat_r×n(K) mit A = BC.

b) Gilt in (a) auch die Umkehrung?

Wie zeige ich die Behauptung? Würde die Umkehrung auch gelten?

Answer 1

a) Eine Matrix mit Rang r hat r linear unabhängige Zeilen bzw. Spalten. Du kannst den Beweis durch Konstruktion führen: wähle B als Matrix der r linear unabhängigen Spalten. C ist dann dafür zuständig, die nötigen Lineaekombinationen in die linear abhängigen Spalten zu schreiben. Ich denke, die Formalisierung dieser Beweisidee kannst du selbst versuchen.

b) Die Umkehrung ist nicht korrekt. Du kannst zum Beispiel in B mehrere linear abhängige Spalten eintragen, sodass der Rang von A=BC kleiner ist als r.