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Ich habe Probleme mit Funktionen und komme mit der Aufgabe nicht klar:

Gegeben ist die echt gebrochenrationale Polynomfunktion:

$$ f(x) = \frac{x^3 + x^2 - 10x + 8}{x^4 - 8x^2 + 16} $$

a) Ermitteln Sie hebbare Unstetigkeitsstellen und die daraus folgende neue Funktion g(x).

b) Ermitteln Sie die Nullstellen und Unstetigkeitsstellen von g(x).


Wie rechnet man die hebbare Unstetigkeit?

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Beste Antwort

x^3 + x^2 - 10* x + 8
---------------------------
x^4 - 8x^2 + 16

Eine Faktorisierung über Polynomdivision ergibt

( x + 4 ) ( x -1 ) ( x -2 )
------------------------------------
( x +2 ) ( x + 2 ) ( x -2 ) ( x -2 )

kürzbar ist ( x - 2 )

( x + 4 ) ( x -1 )
----------------------------
( x +2 ) ( x + 2 ) ( x -2 )

Polstellen ( Nenner = 0 ) sind
x = 2 und x = -2

gm-128.JPG

Hebbar ist hier nichts.
Ich verstehe die Frage also nicht.

Avatar von 122 k 🚀

so geht es mir leider auch....aber vielen Lieben Dank für deine Hilfe! Vor allem für die kurzen und ausführlichen Schritte

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Hi,

am besten fängst Du mit dem Nenner an. Da kann man direkt die zweite binomische Formel erkennen:

x^4-8x^2+16 = (x^2-4)^2

Darin ist dann nochmal die dritte binomische Formel versteckt.

((x-2)(x+2))^2

(Alternativ kannst Du auch x^2 = u substitieren und aufs gleiche kommen).

Du hast dann die vier Nullstellen des Nenners: x_(1,2) = -2 und x_(3,4) = 2


Nun hat der Zähler wohl eine dieser Nullstellen. x_(5) = 2 wäre eine Nullstelle des Zählers.

Polynomdivision:

(x^3+x^2-10x+8)/(x-2) = x^2+3x-4

Dann noch pq-Formel:

x_(6) = 1

x_(7) = -4


Zusammenfassung: Wir haben eine hebbare Unstetigkeitsstelle bei x = 2, denn hier sind Zähler- und Nennernullstelle identisch. Weiterhin ist x = 2 aber eine Polstelle, wie auch x = -2 eine Polstelle ist. Die Nullstellen sind x = 1 und x = -4.

g(x) = (x^2+3x-4)/((x-2)(x+2)^2)


Alles klar?


Grüße

Avatar von 140 k 🚀

> Wir haben eine hebbare Unstetigkeitsstelle bei x = 2

Stetig hebbar wäre diese nur dann, wenn sich der zugehörige Linearfaktor x-2 im Nenner vollständig wegkürzen ließe.

Wünsche dir alles Gute im neuen Jahr!

Nachtrag:

Allerdings handelt es sich bei x = 2 gar nicht um eine "Unstetigkeitsstelle", sondern um eine Definitionslücke, und die ist natürlich durch eine "Zusatzdefinition" f(2) = a∈ℝ immer behebbar. Hier ist sie lediglich nicht stetig behebbar.

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