Der Satz von Planchrerel besagt, dass folgendes gilt
$$ \sqrt{2 \pi} \cdot \| f \| = \| \hat f \| $$ gilt. Wobei die Norm so definiert ist $$ \| f \|^2 = \int_{-\infty}^\infty f(x) \overline {f(x)} dx $$
Mit \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) muss also folgendes berechnet werden
$$ (1) \quad \int_{-\infty}^\infty [f(x)]^2 dx = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty [\hat f(\omega)]^2 d\omega $$
Da gilt \( \hat f(\omega) = \pi \cdot \text{rect}(\omega) \), wobei \( \text{rect}(\omega) \) die Rechtecksfunktion ist, berechnet sich die rechte Seite von (1) zu
$$ \frac{\pi^2}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \text{rect}(\omega) d\omega = \frac{\pi^2}{2 \pi} \int_{-1}^1 d\omega = \pi $$
Alos gilt
$$ \int_{-\infty}^\infty \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 dx = \pi $$
