Hi,
ich bezeichne mit \(e_i\) den i-ten Einheitsvektor des \(\mathbb{R}^3\) und mit \(e'_i\) den i-ten Einheitsvektor des \(\mathbb{R}^5\).
zur a):
Wegen der Linearität gilt: \(\Phi(e_2)=\Phi((0,1,2)^T)-2 \cdot \Phi((0,0,1)^T)\)
Drücke auf gleiche Weise \(\Phi(e_1)\) aus.
Nun gilt kannst du ja mit Hilfe der Einheitsvektoren jedes Element des \(\mathbb{R}^3\) darstellen mit geeigneten Koeffizienten:
\(x= a \cdot e_1 + b \cdot e_2 + c \cdot e_3\)
Wegen der Linearität folgt nun, dass die Abbildung eindeutig festgelegt ist. Wieso?
b)
Berechne die Darstellungsmatrix \(M_F^E(\Phi)\).
D.h. drücke \(\Phi(e_i)\) als Linearkombination der Einheitsvektoren des \(\mathbb{R}^5\) aus und schreibe die Koeffizienten, die zu \(\Phi(e_i)\) gehören, in die i-te Spalte in eine Matrix.
Diese Matrix ist dein \(A\).
