Liegt eine R- lineare Abbildung vor?

Question

Ich habe folgende Aufgabenstellung und soll prüfen, ob eine R- lineare Abbildung vorliegt.

1. f(1,0)=(1,1), f(0,1)=(2,2) und f(2,2)=(4,4)

Hier habe ich geprüft, dass die Vektoren (1,0), (0,1), und (2,2) linear abhängig sind für λ₁=λ₂=-2λ_3. Die y- Werte sind auch linear abhängig für alle beliebigen λ₁,λ₂, λ₃

2. f(1,0)=(2,1), f(0,1)=(1,2) und f(3,3)=(9,9)

Hier habe ich geprüft, dass die Vektoren (1,0), (0,1), und (3,3) linear abhängig sind für λ₁=λ₂=-3λ₃. Die y- Werte sind auch linear abhängig für  λ₂= -3λ_3.

Sind jetzt die Aussagen 1 und 2 wahr oder falsch? Ich hätte gesagt, dass Aussage 1 wahr ist und 2 falsch bin mir aber nicht sicher.

Und was ist der Unterschied zu dieser Fragestellung und der Fragestellung, ob eine eindeutige R- lineare Abbildung vorliegt?

Answer 1

1. f(1,0)=(1,1), f(0,1)=(2,2) und f(2,2)=(4,4)

Für Linearität müsste z.B. gelten, dass 

2* f(1,0) + 2 *f(0,1) = f(2,2) 

"Fragestellung, ob eine eindeutige R- lineare Abbildung vorliegt?"

Kann sein, dass die wissen wollen, ob die Definition der Abbildung die Abbildung eindeutig festlegt.

Beachte: Es gibt auch den Begriff "eineindeutig". Den solltet ihr definiert haben. Falls er in der Fragestellung vorkommt einmal nachschauen. 

Comments

Ok dann war meine Antwort also falsch oder? Also muss ich gar nicht prüfen ob die Vektoren linear unabhängig sind?

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Also muss ich gar nicht prüfen ob die Vektoren linear unabhängig sind?

Nein. Ausserdem: Drei Vektoren in R^2 sind immer linear abhängig. 

Answer 2

Hallo Sternchen,

  { \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ,   \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) }  ist eine Basis von ℝ² 

Durch die Matrix aus deren Bildvektoren ist bereits eine lineare Abbildung eindeutig festgelegt: 

f: ℝ² → ℝ²  ,   \(\vec{x}\) ↦  \(\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&2\end{pmatrix}\) *  \(\vec{x}\)

Überprüfen der 3. Bedingung: 

\(\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&2\end{pmatrix}\) *  \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)  =  \(\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}\)  ≠  \(\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) 

Es gibt also keine solche lineare Abblidung.

Gruß Wolfgang