Gleichung nach Variable x auflösen: √(1 - 4x) - 1 = √(-2x)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Definitionsmenge, lösen Sie die Gleichung nach der Variablen \( x \) auf und geben Sie die Lösungsmenge an.

\( \sqrt{1-4 x}-1=\sqrt{-2 x} \)

Die Lösung sollte -2 und 0 sein. Doch wie komme ich darauf?

Answer 1

√ (1-4x) -1 = √ (-2x) |(..)^2

1-4x -2 √(1-4x) +1= -2x

2-4x -2 √(1-4x) = -2x | -2 +4x

-2 √(1-4x) =2x -2 |.(-1)

2 √(1-4x) =-2x +2 |: 2

√(1-4x) =-x +1 |(..)^2

1-4x=x^2 -2x +1 | -1

-4x =x^2 -2x |+4x

0= x^2 +2x ->Ausklammern

0=x(x+2) ->Satz vom Nullprodukt:

x₁=0

x₂= -2

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösungen.

Comments

Das Fazinierende bei dieser Art Aufgaben ist doch, dass obwohl Grosserloewe ursprünglich einen Fehler gemacht hat ..

$$1-4x \colorbox{#FF0}{+}2\sqrt{1-4x} +1= -2x$$

... trotzdem das richtige heraus kommt, weil eben zwischendurch wieder quadriert wird womit das Vorzeichen obsolet ist. Würde die Ausgangsgleichung so lauten:

$$\sqrt{1-4x} + 1 = \sqrt{-2x}$$

wäre die Rechnung zwar identisch und auch korrekt, aber bei der Probe zeigt sich dann, dass keiner der berechneten Werte eine Lösung ist. Es lohnt also immer ein kleines Diagramm