f'(x)>0 aber nicht monoton wachsend

Question

ich bearbeite gerade eine Altklausur, für die es leider keine Lösung gibt und es handelt sich um folgende Funktion:

 

Die Aufgabenstellung lautet: Zeigen Sie, dass f auf keinem Intervall (-α,α) mit α>0 monoton steigend ist, obwohl f'(0)=1 >0 gilt.

Leider stehe ich irgendwie total auf dem Schlauch, denn nach der Definition von der Steigung über dier erste Ableitung, muss f(x) ja normalerweise steigen oder?

Comments

Lassen wir das mit der fraglichen Ableitung mal weg. 

Wenn du z.B. zeigen kannst, dass du in jedem Intervall (-α,α) mit α>0 ein b>0 findest, mit f(b) < 0 , hast du die Monotonie widerlegt. 

Versuche es mit sin(1/x) = -1 ,

d.h. mit  1/x_n = 3π/2 + 2nπ

Also x_n = 1/(3π/2 + 2nπ) .

Für diese x_n  hast du 

f(x_n) = x_n + 2x_n^2 *(-1) = x_n - 2x_n^2 = x_n(1 - 2x_n) 

Das geht aber irgendwie auch nicht, da für "kleine" x_n beide Faktoren grösser als 0 sind. 

Bleibt die Frage: Sollst du die Behauptung denn zeigen und widerlegen? 

Answer 1

für x≠0 ergibt sich die Ableitung gemäß Produkt und Kettenregel zu

$$ 4xsin(\frac{1}{x})-2cos(\frac{1}{x})+1 $$

Wähle nun x=1/(2kπ) mit k∈ℕ so groß,dass  x∈(-α,α)

Dann ist

$$ f'(x)=4/(2k\pi) * sin(2k\pi)-2cos(2k\pi)+1=-1 $$

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Da fehlt aber noch die Pointe. Zu zeigen ist ja, dass es immer \(x,y\in(-\alpha,\alpha)\) mit \(x<y\) und \(f(x)>f(y)\) gibt, egal wie klein man \(\alpha>0\) auch macht.

Answer 2

Auf einem Intervall (-α,α) ist die Ableitung keineswegs überall >0. Die Kurve oszilliert hier (umso stärker, je näher bei x=0). Die Steigung an der Stelle x=0 ist nicht definiert, nicht eimal der Grenzwert der Steigung für x→0 exisiert. Woher stammt denn die Behauptung f'(0)=1?

Comments

Das steht wie ich schon geschrieben habe in der Aufgabenstellung.

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Stammt die Aufgabenstellung aus einem Schulbuch? Schulbücher sind keineswegs immer fehlerfrei.

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@annka: lass dich von Roland nicht verunsichern, es ist

$$ f'(0)= \lim_{h\to 0}(h+2h^2sin(1/h))/h\\=1+2\lim_{h\to 0}hsin(1/h)=1 $$

wie in der Aufgabe behauptet.

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Es handelt sich um eine Altklausur an der Uni, die auch so in einer Prüfung gestellt wurde. Deshalb geh ich davon aus, dass die Aufgabenstellung richtig ist. Und die Behauptung soll gezeigt werden.

Das mit dem Intervall hab ich auch schon überlegt und bin nicht weiter gekommen

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f'(x) = - 2·COS(1/x) + 4·x·SIN(1/x) + 1

Was passiert jetzt für 1/x = k·2·pi --> x = 1/(2·pi·k) mit k ∈ ℕ

f'(1/(pi·k)) = - 2·COS(1/(1/(2·pi·k))) + 4·x·SIN(1/(1/(2·pi·k))) + 1

f'(1/(pi·k)) = - 2·COS(1/(1/(2·pi·k))) + 4·(1/(2·pi·k))·SIN(1/(1/(2·pi·k))) + 1

f'(1/(pi·k)) = - 2·COS(2·pi·k) + 2·SIN(2·pi·k)/(pi·k) + 1

f'(1/(pi·k)) = - 2 + 0 + 1 = -1

Nun wählt man n eben mind. so groß das x = 1/(2·pi·k) < α ist.

Damit existiert in jedem noch so beliebig kleinen Intervall mind. eine Stelle, an der die Steigung -1 wird.

Answer 3

f'(x) = - 2·COS(1/x) + 4·x·SIN(1/x) + 1

Was passiert jetzt für 1/x = k·2·pi --> x = 1/(2·pi·k) mit k ∈ ℕ

f'(1/(pi·k)) = - 2·COS(1/(1/(2·pi·k))) + 4·x·SIN(1/(1/(2·pi·k))) + 1

f'(1/(pi·k)) = - 2·COS(1/(1/(2·pi·k))) + 4·(1/(2·pi·k))·SIN(1/(1/(2·pi·k))) + 1

f'(1/(pi·k)) = - 2·COS(2·pi·k) + 2·SIN(2·pi·k)/(pi·k) + 1

f'(1/(pi·k)) = - 2 + 0 + 1 = -1

Nun wählt man n eben mind. so groß das x = 1/(2·pi·k) < α ist.

Damit existiert in jedem noch so beliebig kleinen Intervall mind. eine Stelle, an der die Steigung -1 wird.