Fang von hinten an. \(f^{(2n-1)}(x_0)=0\) und \(f^{(2n)}(x_0)>0\) bedeutet, dass \(f^{(2n-1)}\) an der Stelle \(x_0\) einen Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) hat. Damit hat \(f^{(2n-2)}\) an der Stelle \(x_0\) ein Minimum im strengen Sinne, d.h. es ist \(f^{(2n-2)}(x)>f^{(2n-2)}(x_0)=0\) in einer punktierten Umgebung von \(x_0\). Deshalb ist \(f^{(2n-3)}(x_0-h)<f^{(2n-3)}(x_0)<f^{(2n-3)}(x_0+h)\) für kleine positive \(h\) (Mittelwertsatz!) und \(f^{(2n-3)}\) hat also an der Stelle \(x_0\) ebenfalls einen Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\). Wir schliessen, dass auch \(f^{(2n-4)}\) an der Stelle \(x_0\) ein Minimum im strengen Sinne hat. Usw. usf. bis \(f=f^{(0)}\).
