Finden Sie die Lösungsmenge der Ungleichung: x/(1 + |x|) ≤ x^2

Question

$$\frac{x}{1+|x|} \leq x^2$$

Es gibt 2 Fälle, einmal für |x| = x und ein mal |x| = -x

Umgeformt erhält man: 

x^3+x^2-x ≥ 0

x_1 >= 0

x_2,3 ≥ \(\frac{-1\pm  \sqrt{5} }{2}\) 

Was ist jetzt die Lösungsmenge bzw. kann es sein dass Sie zwischen \(\frac{-1-  \sqrt{5} }{2}\) und \(\frac{-1+  \sqrt{5} }{2}\) liegt? aber in meinen Lösungen steht \(\frac{-1+  \sqrt{5} }{2}\)  <= x <= 0... das kann aber nicht sein oder doch?

Aus Fall zwei erhält komplexe Nullstellen, die habe ich mal ignoriert, da wir hier an dieser Stelle noch keine Komplexen Zahlen hatten... 

mfg

Answer 1

Hallo Knightfire66, schön, dass wir mal wieder miteinander zu tun haben.  Bitte skizziere doch mal die von dir gefundene Funktion x^3 + x^2 – x.  Dann sieh nach, für welche Werte von x die Funktionswerte größer bzw. kleiner null sind.

Die zwei Fälle heißen übrigens korrekterweise x >= 0 und x < 0.

Comments

hi,

jo x≥0... hab ich notiert.

also > 0 für x <= 0 bis -1.6 also -(1-√5)/2... die dritte NS 0 ist = 0 ... und 0 bis (-1+√5)/2 ist der graph < 0

ok ich habs verstanden... 

die ergebnisse von x3 + x2 – x wo >= 0 ist sind unsere Lösungsmenge... also

\(\frac{-1-  \sqrt{5} }{2}\) bis 0 ist der graph <=  0.. das ist die lösungsmenge?

mfg

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ahso und noch x>= \(\frac{-1+  \sqrt{5} }{2}\)... weil hier der graph -> unendlich geht

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Hallo Knightfire, du fragst mich, ob das die Lösungsmenge ist, aber du gibst gar keine Menge an.  Daher kann ich auch nicht beurteilen, ob du richtig liegst.  Bitte zeige mal deine Skizze der Funktion, dann können wir weiterreden.  Die drei Nullstellen auf der x-Achse einzeichnen, dann die Parabel dritten Grades einzeichnen.  Danke.

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aus wolfram...

L = { x | [ \(\frac{-1-  \sqrt{5} }{2}\) , 0] , [\(\frac{-1+  \sqrt{5} }{2}\), ∞) }... was sagst du dazu? statt , musste ein "und" dahin... 

EDIT:  da die Bedingung x >= 0 ist stimmt nur L = { x | 0, [\(\frac{-1+  \sqrt{5} }{2}\), ∞) }

ich müsste noch rausfinden wo die extrema sind, um herauszufinden wo der Graph über der X-achse verläuft. aber sonnst richtig so? 

mfg

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Ich müsste noch rausfinden wo die extrema sind, um herauszufinden wo der Graph über der X-achse verläuft. aber sonnst richtig so?

Oder ohne Ableitung:
du nimmst irgendeine Stelle zwischen zwei
Nullpunkten und rechnest den Funktionswert
dafür aus. Dann weißt du direkt ob oberhalb
oder unterhalb der x-Achse.

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Hallo Knightfire, die Zeichnung ist gut.  Solltest du am besten auch ohne Hilfsmittel hinbekommen.  Die Lösungsmenge für Fall 1, x >= 0, ist L = {0} ∪ [(-1 + Wurzel(5))/2, ∞ ).  Das ist die korrekte Mengenschreibweise.  Da du ja die Skizze schon hast, kannst du dir Berechnungen wie z. B. Extrema sparen.  Wenn du zusätzlich zur Skizze was rechnen willst, setze einfach ein paar x-Werte ein, wie Georg das gemacht hat.

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Bitte sehr.  :-)  

Answer 2

Fall x ≥ 0

x^3 + x^2 - x ≥ 0
Ersteinmal einschränken auf
x^3 + x^2 - x = 0
x * ( x^2 + x - 1 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
x^2 + x -1 = 0
x = √ (5 / 2) - 1/2 = =0.618
x = √ (5 / 2) - 1/2 = = - 1.618

Nullstellen
( -1.618 | 0 ) ( 0 | 0 ) ( 0.618 | 0 )

Da x ≥ 0 ist ( Eingangsvoraussetzung )
müssen nur die Bereiche
x = 0 bis 0.618
und
x = 0.618 .. ∞  betrachtet werden.

Man nehme eine Stelle im ersten Bereich
z.B. x = 0.5 und setzte diese in
x / ( 1 + x ) ≤ x^2 ein
( Punktprobe genannt )
0.5 / 1.5 ≤ 0.5 ^2
0.333 ≤ 0.25
Falsch.
Also muß die Aussage für den 2.Bereich
richtig sein
Test mit x = 1
x / ( 1 + x ) ≤ x^2 ein.
1 / 2 ≤ 1 ^2
0.5 ≤ 1
Stimmt

Lösungsmenge für Fall 1
x = [ 0.618 .. ∞ [

Eine graphische Überprüfung bestätigt
das Ergebnis.

Comments

Hallo Georg, eine weitere Lösung für Fall 1 ist x = 0.

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Fall 2 : x < 0 ( negativ )
linker Teil der Ungleichung ist dann stets negativ
Der rechte Teil ist stets positiv.
Die Ungleichung ist stets wahr.

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Hallo Georg, eine weitere Lösung für Fall 1
ist x = 0.

Lösungsmenge für Fall 1
x = [ 0.618 .. ∞ [  und ( x = 0 )

Insgesamt
x = [ 0.618 .. ∞ [  und  x = ] -∞.. 0 ]