Zeigen, dass f^{-1} (W´) ein Unterraum ist

Question

Seien V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume und W′⊂W ein Unterraum. Sei f :V→W eine lineare Abbildung.zeigen Zeigen Sie, dass f⁻¹(W′)⊂V ein Unterraum ist und dim f^-1(W´)=dim (W´∩ Im (f) ) + dim Kern (f)

f⁻¹(W′) ≠∅

Da W´⊂ W ein Unterraum ist, ist 0 ∈ W´. Es ist f^-1(0) =0 da f linear. Somit ist f⁻¹(W′) ≠∅.

Seien g^-1, h^-1 ∈ f⁻¹(W′). Dann ist (g^-1+h^-1) (W´)= g^-1(W´)+h^-1(W´) ∈ f−1(W′)

Außerdem ist (λ f^-1) (W´)= λ f^-1(W´)∈ f⁻¹(W′) 

Stimmt das so oder wie schreibt man das genauer auf?

Und wie beweist man die Dimensionsformel

Answer 1

> (g^-1+h^-1) (W´)

Diese Notation kenne ich nicht.

g^-1 und h^-1 sind Vektoren aus V. Also ist auch (g^-1+h^-1) ein Vektor aus V. W´ ist ein Untervektrraum von W. Aber was soll dann (g^-1+h^-1) (W´) sein?

Seien v₁, v₂ ∈ f^-1(W').

Seien w₁, w₂ ∈ W' mit f(v₁) = w₁ und f(v₂) = w₂. Begründe warum solche w₁ und w₂ existieren. Verwende sie um zu zeigen dass auch v₁+v₂ ∈ f^-1(W') ist.