Implizites Differenzieren

Question

Hi, bin gerade in der Klausurvorbereitung und dabei auf folgende Aufgabe gestoßen. Habe auch bereits recherchiert aber zum Thema impliziert differenzieren nur sehr einfache Beispiele gefunden, deren Lösung ich nicht auf meine Aufgabe übertragen konnte. Es wäre toll, wenn jemand mir die Vorgehensweise hier erläutern könnte, :)

Comments

Halte dich bitte auch an die Schreibregeln und tippe den Text ab. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

(Ich erwarte den Text der Fragestellung als Kommentar) 

Ansonsten kannst du dich vielleicht an den "ähnlichen Fragen" orientieren. 

Answer 1

   Ooooh Freu ! Weil das ist tootaaal wichtig ist das. Das MUSST du können. Du machst das einfach mit der Produktregel ( und natürlich mit der Kettenregel, da ja y = y ( x ) eine implizite Funktion ist. )

   Der Sinn und Zweck von dem Ganzen; spick doch mal wie ich in Wolfram, was für Hämmer das gibt, wolltest du deine Beispielfunktion G in a) , meine ( 1a ) , EXPLIZIT nach y umstellen ( Irgendwann haben da die Matematiker einfach das Handtuch geschmissen und suchten nach einfachen Tricks - bloß ich krieg hier immer die Prügel, wenn ich das zugebe. )

     x  ³  +  y  ³  -  3  x  y  =  0          (  1a  )

    3  x  ²  +  3  y  ²  y  '  -  3  y  -  3  x  y  '  =  0    (  1b  )

     D. h. aber doch, einfach von der Struktur der Kettenregel her bekommst du analog ( 1b ) immer eine LINEARE Beziehung, die du sofort nach y ' umsterllen kannst ( Allerdings y ' in impliziter Abhängigkeit von y )

                           y  -  x  ²

       y  '  =   ---------------------------             (  2  )

                         y  ²  -  x

    Damit wäre deine Aufgabe so weit erfüllt. Ich nöchte dir aber zeigen, das du mit  ( 2 ) echte Kurvendiskussion machen kannst.    Ausgangspunkt; ( 1a ) ist ein kubistisches Polynom.  D. h. eine Lösung für y hast du bestimmt. Aber wann gibt es drei oder vielleicht nur zwei?

   In dem Wolframplot siehst du diese Lassoschlinge, die sich selbst überkreuzt. In dem Bereich der Schlinge gibt es also drei Lösungen - das ===> implizite Funktionenteorem sagt ausdrücklich, dass die Umkehrfunktion nur LOKAL existiert. ( Denk an Plus / Minus Halbkreis ) Aber suchen wir nach Extrema; ( 2 ) Null setzen

            y  =  x  ²        (  3a  )

         x  ^  6  =  2  x  ³   ===>  x1;2;3  =  0  ;  x4  =  x  (  max  )  =   2  ^ 1/3    (  3b  )

     Wir schneiden also ( 1a )  mit der Normalparabel.

   Gleich in x = 0 können wir mit unseren Mitteln überhaupt nichts ausrichten; die Kalamität: Für ein eindeutiges y = 0 hast du zwei verschiedene Tangenten. Mit dem Wolframplot können wir nur vermuten, dass wir eine horizontale und eine vertikale Tangente haben. Mit ( 3ab ) finden wir innerhalb der Schlinge

      f  (  max  )  =  2  ^   2/3       (  3c  )

    Eigentlich logisch; die Kurve tritt von Links bei x = 0 in die Schlinge ein und nimmt genau dort ein Minimum an. Auf dem unteren Zweig, wo sie nach Rechts verläuft, steigt sie monoton. Erst im Rücklauf nach Links auf dem oberen Zweig hat sie das Maximum.

   Meine Spezialität: Prüfen wir diese Behauptung nach ohne die umständliche zweite Ableitung. Welche y-Werte ergeben sich für x = 2 ^ 1/3  ? Siehe ( 1a )

     y  ³  -  3  y  *  2  ^  1/3  +  2  =  0       (  4  )

     Das aller Wichtigste; die ===> cartesische Vorzeichenregel ( CV )  Ein negativer y-Wert ist uns sicher; der liegt auf der Kurve, nachdem sie die Schleife verlässt und nach x ===> ( + °° ) verduftet. Also zwei positive Wurzeln; und eine kennen wir ja schon. Ich halt mich jetzt nicht lange damit auf; du weißt ja, wie man sowas rechnet.

   Ich habe bei Wolfram nachgesehen; es läuft darauf hinaus, dass der mit dem Maximum konkurrierende positive Wert ( auf dem unteren Zweig ) kleiner Eins ist, während selbstverständlich f ( max ) > 1 .

    Aber worum wir uns noch sorgen müssen: Der Nenner von ( 2 ) kann Null werden; was ist da los?   ( 1a ) wird geschnitten mit der liegenden Parabel

       x  =  y  ²         (  5a  )

     An sich ist das gar nicht schlimm, wenn die Ableitung Unendlichwird. Die Tangente existiert dann immer noch - sie verläuft nur vertikal. Da ( 1a ) symmetrisch ist unter Vertauschung von x und y , tauschen in ( 5a ) x und y die Rollen:

          x  (  krit  )  =  2  ^  2/3  ;  y  (  krit  )  =  2  ^  1/3     (  5b  )

   Aber genau diese senkrechte Tangente haben wir ja erwartet; sie markiert das Ende der Schleife.  Rechts von x ( krit ) hast du nur noch eine eindeutige Funktion unterhalb der Abszisse.  Ich habe x ( krit ) eingesetzt in ( 1a ) analog ( 4 ) und Wolfram nochmal gestartet; er erkennt richtig die Doppelwurzel bei y ( krit ) und findet weiters f1 = - 2 * 2 ^ 1/3 .

    Doch halt; wir vermuten Asymptoten. Dividieren wir ( 1a ) durch x ³

     m  :=  y / x        (  6a  )

   1  +  m  ³  -  3  m / x  =  0     (  6b  )

      Unter der Voraussetzung, dass für | x | ===> ( °° )  m einen Grenzwert M hat,  folgt aus ( 6b )  M = ( - 1 )  Entgegen Wiki bestehe ich darauf:  Bei der Asymptote handelt es sich um einen klar definierten Begriff; die Asymptote ist immer die uneigentliche Tangente. Kürzen wir ( 2 ) durch x ²

                            m / x   -  1

      y  '  =       ---------------------------  ===>  - 1 / M ²     (  6c  )

                          m  ²  -  1 / x

      Ich wollte dir vermittelt haben, dass das, was du hier tust, durchaus Sinn voll ist und keine akademische Spinnerei; mit so Tricks kannst du Kurven beherrschen, wo die Schule nicht mehr weiter kommt. Und jetzt zu deiner B)

    x  ^ 4  y  +  exp  (  x  y  )  -  x  =  0      (  2.1  )

    Wolfram hat das Unmögliche möglich gemacht; ich kann mir immer noch nicht erklären wie. Über die ===> Lambertsche W-Funktion ( Übungen im Internet; wird in der Uni völlig vernachlässigt ) schafft der die Umstellung dieser Gleichung nach y . Dies erklärt im negativen Bereich die Definitionslücke so wie die Zweideutigkeit der Funktion; in Vielem erinnert W an Wurzel. Dass für y = 0 folgt x = 1  , ist ja trivial. Um aber die Umkehrung zu zeigen, benötigst du genau dieses W ; deine Strategie: Du suchst immer ein vollständiges W analog der quadratischen Ergänzung. Ich setze x = 1

          y  -  1  =  -  exp  (  y  )       |    *   exp  ( - y  )      (  2.2a  )

      (  y  -  1  )  exp  ( - y  )  =  (  -  1  )       |   *  (  -  1  )     (  2.2b  )

      (  1  -  y  )    exp  ( - y  )  =  1      |    *  e        (  2.2c  )

        (  1  -  y  )    exp  (  1  -  y  )    =  e     |      W        (  2.2d  )

    Die positive W-Funktion ist eindeutig; es trifft sich, dass wir auch auf der rechten Seite von ( 2.2d )  ein vollständiges W haben wegen

       e  =  1  *  exp  (  1  )  ===>  W  (  e  )  =  1      (  2.3a  )

        

    Dann hast du in ( 2.2d )

       1  -  y  =  1  ===>  y  =  0      (  2.3b  )

    So ich schick jetzt erst mal ab; den Rest - versprochen - mach ich in einem ergänzenden Kommentar; die Ableitungen von b) und c)

Comments

  Jetzt kommt etwas, das brauchst du immer wieder. Die Berechnung des nummerischen Wertes der Ableitung an einer gegebenen Stelle. Leite ( 2.1 ) ab

  4  x  ³  y  +  x  ^  4  y  '  +  (  y  +  x  y  '  )  exp  (  x  y  )  -  1  =  0    (  2.4a  )

   Du brauchst jetzt nur noch konkret  setzen x0 = 1

   4  f  (  1  )  +  f  '  (  1  )  +  [  f  (  1  )  +  f  '  (  1  )  ]  exp  f  (  1  )  -  1  =  0    (  2.4b  )

   Wir hatten uns aber oben ünerlegt, dass f ( 1 ) verschwindet. Also

     f  '  (  1  )  +  f  '  (  1  )  -  1  =  0  ===>  f  '  (  1  )  =  1/2     (  2.4c  )

   Das ist ja alles ganz gut und schön.   Aber ich bin da auf eine Anwendung gestoßen - ich meine die dir wohl bekannten gebrochen rationalen Funktionen ( GRF )   Aus deiner Schulzeit wirst du dich noch an die Quotientenregel ( QR ) erinnern.

   Und ich warne die Schüler; ich sage ihnen: Die QR ist ABSOLUT TÖDLICH . Ihr müsst Sie MEIDEN WIE DIE PEST . Und dann stoße ich immer auf Unverständnis.

    Nimm doch irgendeine GRF aus dem Lehrbuch her; das sind schöne Beispiele. Ich kann jetzt nicht garantieten, dass meine Koeffizienten optimal sind; hier geht es nur ums Prinzip.

                  x ³ + 5 x ² - 13 x + 24

   y  =  -------------------------------------------------          (  2.5  )

              x ^ 4 + 7 x ³ - 3 x ² + 11 x + 8

    Irgendwo muss ich ja Recht haben. In einem Kommentar gab sich ein Schüler verzweifelt, der versucht hatte, mittels der QR die 2. Ableitung von ( 2.5 ) an der Stelle x = 2 zu ermitteln ...  Ich zeige dir jetzt, was du gewinnst, wenn du die implizite Technik anwendest. Zunächst mal machst du den Bruch weg:

   y  (  x ^ 4 + 7 x ³ - 3 x ² + 11 x + 8  )  =  x ³ + 5 x ² - 13 x + 24     (  2.6a  ) 

   Weil Produktregel haben wir ja drauf; die geht viel einfacher wie die QR .

  y  '  (  x ^ 4 + 7 x ³ - 3 x ² + 11 x + 8  )  +  y  (  4  x  ³  +  21  x  ²  -  6  x  +  11  )  =

     =  3  x  ²  +  10  x  -  13    (  2.6b  )

   So und jetzt zur 2. Ableitung. Da gibt es die ===> Leibnizregel entspechend dem ===> binomischen Lehrsatz . Leibniz bewirkt, dass du auf der linken Seite von ( 2.6a ) die 4 711. Ableitung aus dem Stand bilden kannst, ohne vorher die ersten 4 710 Ableitungen errechnet zu haben. Ich führ dir diese Technik jetzt für die 2. Ableitung vor; wenn du es nicht einsiehst, frag bitte nochmal.

  y  "  (  x ^ 4 + 7 x ³ - 3 x ² + 11 x + 8  )  +  2  y  '  (  4  x  ³  +  21  x  ²  -  6  x  +  11  )  +  y  (  12  x  ²  +  42  x  -  6  )  =  6  x  +  10     (  2.6c  )

     Vielleicht zur Verdeutlichung noch die 3. Ableitung.

    y(³)  (  x ^ 4 + 7 x ³ - 3 x ² + 11 x + 8  )  +  3  y  "  (  4  x  ³  +  21  x  ²  -  6  x  +  11  )  +  3  y  '  (  12  x  ²  +  42  x  -  6  )  +  y  (  24  x  +  42  )  =  6     (  2.6d  )

     

   Eventuell Rechenfehler bitte ich zu entschuldigen. Angenommen ich will die ersten drei Ableitungen an der Stelle x0 = 2 .  Du das gibt jetzt ein LGS in Gaußschem Dreiecksformat; überblickst du das schon? In ( 2.6a ) tust du dieses x0 einsetzen - übrigens. Polynome werden grundsätzlich mit dem ===> Hornerschema ausgewertet; ich weiß nicht, wie komfortabel dass eure TR sind.

   Also aus ( 2.6a ) folgt f ( x0 ) als Unbekannte. Jetzt x0 so wie f ( x0 ) eingeben in ( 2.6b ) ; und schon hast du f ' ( x0 )  Jetzt mit f ( x0 ) und f ' ( x0 ) in ( 2.6c ) . und das gibt dir f " ( x0 )

   Du hast doch gelernt:

   1) Gaußsche Dreiecksform ist wichtig.

   2)  implizites Differenzieren ist wichtig.

    3) Produktregel und Leibnizregel sind wichtig.

   So; jetzt dein letztes Beispiel

 

    x  ³  ln  (  x  y  +  1  )  +  exp  (  x  y  )  -  x  =  0         (  3.1  )

   Warum sich für x = 1 eindeutig ergibt y = 0 ; die Bedingungsgleichung lautet

     ln  (   y  +  1  )  +  exp  (  y  )   =  1        (  3.2  )

   Beide; e-Funktion und Logaritmus sind monoton wachsende und damit treue Funktionen - ein Argument, das übrigens analog für   ( 2.2a ) gilt.

   Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum; ich kann es auch.  Eine Funktion ist nicht injektiv, sie ist treu.

    Ableiten von ( 3.1 ) ; du hast ja jetzt schon Übung.

                                                                     x ³

   3 x ² ln ( x y + 1 ) + ( y + x y ' )  [      -------------------- + exp ( x y )  ]  -  1  =  0  ( 3.3 )

                                                                 x y  +  1

   Der Logaritmusterm verschwindet wegen ln ( 1 ) = 0 Die eckige Klammer wird der Koeffizient von f ' ( 1 ) Im der eckigen Klammer leistet jeder der beiden Summanden den Beitrag Eins , so das auch hier wieder f ' ( 1 ) = 1/2