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Hi, ich hab leider echt Probleme bei komplexen Potenzreihen, die Aufgabe sieht wie folgt aus:

∑(z-i-1)k/k2

Summe von k=1 bis ∞. Nun sollen wir den Konvergenzradius bestimmen, leider versteh ich den Ansatz dafür nicht, der in der Lösung für die Aufgabe steht:

qk = (k+1)2/k2


Okay während ich das schreibe fällt mir auf, dass hier schon das quotientenkriterium angewendet wurde und scheinbar (z-i-1)k durch 1 substituiert wurde. Jedoch noch 2 Fragen dazu:

1. Macht man das im generellen so, dass der Entwicklungspunkt und z substituiert werden?

2. Warum ist es qk = (k+1)2/k2 Und nicht qk = k2/(k+1)2 ? Das würde ich herausbekommen falls ich das Quotientenkriterium mit an+1 / an rechne.


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Du musst Dir schon vorher die Theorie zum Thema anschauen. Dein Versuch, Kochrezepte aus einer Musterloesung zu erraten, ist ziemlich daneben. Zum Basiswissen gehort: Was hat es mit dem Konvergenzradius einer Potzenzreihe auf sich, was ist das? Wie berechnet man ihn? (Dazu gibt es zwei Formeln, von denen eine in der Musterloesung verwendet wird.)

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Warum ist es qk = (k+1)2/k2 Und nicht qk = k2/(k+1)2 ? Das würde ich herausbekommen falls ich das Quotientenkriterium mit an+1 / an rechne.
Schau mal dort: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

Diese Formel für den Konvergenzradius kannst du aus dem Konvergenzkriterium für Reihen herleiten.

Die wir hier benutzt:

Bei ist ja ak=1/k^2 , also ist  ak / ak+1 =  qk = (k+1)^2/k^2 Und weil qk gegen 1 konvergiert, ist der

Radius 1. 

Das (z-i-1)^k ist nicht substituiert worden, sondern ist schlicht für den Konv.radius irrelevant.

Bei einer Potenzreihe, bei der hinter dem ak sowas wie ( z - zo)^k  steht, ist zo schlicht der

Mittelpunkt des Konvergenzbereiches. Bei dir konvergiert die Reihe also sicher im

offenen Kreis um i+1 mit Radius 1.  Den Rand muss man extra untersuchen.

Avatar von 287 k 🚀

Danke dir, die Formel von Cauchy Hardmann bzw. in diesem Fall die andere Formel hatten mir gefehlt. Und ja das mit (z-z0)^k hab ich mir nochmal angeschaut, ist mir jetzt auch klar!

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