0 Daumen
553 Aufrufe

Aufgabe:

Seien \(a>1, m, n\) positive ganze Zahlen. Dann gilt \(\mathrm{ggT}(a^m-1,a^n-1)=a^{\mathrm{ggT}(m,n)}-1\)


Ansatz:
Das einzige, was mir auffällt, ist, dass wenn ich den ggT anwende, führe ich im Exponenten den euklidischen Algorithmus durch, aber das reicht leider nicht für einen formal richtigen Beweis.

von

Wenn \(k\,|\,\ell\), dann \((a^\ell-1)=(a^k-1)(a^{\ell-k}+a^{\ell-2k}+\cdots+a^k+1)\). Da kann man womoeglich was mit machen.

aber was bringt mir das

aber was bringt mir das?

Das war ja zu erwarten! :(

Man liest daraus unmittelbar ab, dass \(a^{\operatorname{ggT}(m,n)}-1\) ein gemeinsamer Teiler von \(a^m-1\) und \(a^n-1\) ist. Das ist schon mal die halbe Miete ...

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community