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Aufgabe:

Lösen Sie das partielle Differentialgleichungssystem

\(v_t=\left(\begin{matrix}1&4\\2&3\end{matrix}\right)v_x, v(x,0)=\left(\begin{matrix}x+1\\-2x+3\end{matrix}\right),x\in\mathbb{R}\)

mittels Transformation der Matrix in Diagonalgestalt.

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Es steht doch da. Eine lineare Transformation \(v=Tw\) sollst Du machen. Das wirst Du jetzt in die Gleichung eintragen muessen, um eine für \(w\) zu bekommen.

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Kannst du mir das ein wenig genauer erklären ?

Uns wurde das eigentlich überhaupt nicht erklärt.

Kam letztes Semester dran und die Studenten wurden überrascht

Du willst ernsthaft wissen, wie man \(v=Tw\) in \(v_t=Av_x\) einsetzt und was da rauskommt??

Ich verstehe nicht was ich genau wo einsetzen muss?

Bist Du Dir sicher, dass Du Dich ausgerechnet mit partiellen Dgln beschaeftigen musst, wenn Du nicht mal eine simple Substitution durchfuehren kannst? Du sollst in \(v_t=Av_x\) das \(v\) durch \(Tw\) ersetzen. Selbst wenn man keine Ahnung hat, was man da macht und schlicht nach den Zeichen geht, kommt mit \(Tw_t=ATw_x\) das Richtige bei raus.

Um der Sache die Krone aufzusetzen, musst Du jetzt noch fragen: Und was bringt mir das?

Ich verstehe das auch nicht und frage mich auch was das bringt :)

Du nennst die Matrix A

A = [1, 4; 2, 3]

Dann ist die Diagonalform der Matrix

D = [- 1/3, 1/3; 1/3, 2/3]·[1, 4; 2, 3]·[-2, 1; 1, 1] = [-1, 0; 0, 5]

Es bringt \(w_t=T^{-1}ATw_x=Dw_x\) oder in Komponenten geschrieben mit Deinen Werten \(\partial_tw_1=-\partial_xw_1\) und \(\partial_tw_2=5\partial_xw_2\). In Worten: Die Gleichungen für \(w_1\) und \(w_2\) werden entkoppelt. Die Loesungen sind \(w_1=f_1(x-t)\) und \(w_2=f_2(x+5t)\) mit beliebigen differenzierbaren Funktionen \(f_1\) und \(f_2\).

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