Beweis, ob Aussagen über Rand und Teilmengen richtig sind. Bin ich so fertig?

Question

a.) $$ (\bar { A } \setminus A)\quad \subseteq \delta A $$

b.) $$ (\bar { A } \setminus A)\quad \supseteq \delta A $$

Reicht mein Beweis ?

Abschluss der Menge A: $$ \bar { A } $$

Rand der Menge A:$$ \delta A $$

Das Innere der Menge A:

$$ \mathring { A } $$

a.)

$$ x\in \quad \delta A\quad \Rightarrow \quad x\notin A\quad \wedge \quad x\notin \mathring { A } \Leftrightarrow \quad x\notin A\quad \wedge \quad x\in \bar { A } \Leftrightarrow x\in (\bar { A } \setminus A) $$

b.)

$$ x\in \quad \delta A\quad \Leftarrow \quad x\notin A\quad \wedge \quad x\notin \mathring { A } \Leftrightarrow \quad x\notin A\quad \wedge \quad x\in \bar { A } \Leftrightarrow x\in (\bar { A } \setminus A) $$

b.) Wäre halt von rechts nach links zu lesen :P wollte es nicht nochmal neu schreiben.

Comments

Bekanntlich gilt \(\partial A=\overline{A}\setminus A^\circ\). Da ist dann a) trivialerweise richtig und b) eben falsch.

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Warum ist b.) falsch, in b.) steht doch genau das gleiche.

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Falsch ist die Aussage b). Sie kann deshalb auch nicht bewiesen werden. Dein Beweis zu b) ist also auf jeden Fall falsch

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Versteh ich nicht, was ist dann die abgeschlossene Menge ?

Wenn das gilt,

$$ \bar { A } =\quad A\cup \delta A $$

muss doch auch $$ \bar { A } \setminus A\quad =\quad \delta A $$ gelten.

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Nein. Wenn du kein Ringlein über das A malst, wie fakename gemacht hat bei $$ \partial A=\overline{A}\setminus A^\circ $$

Dann stimmt deine Folgerung nicht.

A und Rand(A) sind nicht zwingend elementfremd.