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Guten Mittag,

ich bin gerade dabei diese Funktion abzuleiten.

Unbenannt.PNG


Ich habe bis jetzt die Quotientenregel angewendet und wollte nun die Kettenregel anwenden.

Die Formel ist ja g'(h(x)) * h(x).

Aber wie leite ich nun g(x) = x^(x^3) ab?

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte mit einer Erklärung.

Vielen Dank im Voraus.


Euer Max

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Hallo,
Das "d/dx" indiziert, wo die Ableitungsregel angewandt wird.
Für den ersten Schritt kannst du folgende Regel anwenden:$$ \left[u(x)^{v(x)}\right]'=u(x)^{v(x)}\cdot \left[In(u(x))\cdot v(x)\right] $$ Einsetzen:$$\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)^{x^3}}}\cdot\class{steps-node}{\cssId{steps-node-5}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\class{steps-node}{\cssId{steps-node-3}{\ln\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)}}\class{steps-node}{\cssId{steps-node-4}{x^3}}\right]}}$$ Als nächstes kannst du folgende Regel verwenden:$$ \left[u(x)\cdot {v(x)}\right]'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) $$ Einsetzen ergibt:$$=\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-7}{\class{steps-node}{\cssId{steps-node-6}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^3\right]}}\cdot\ln\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)}}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-9}{x^3\cdot\class{steps-node}{\cssId{steps-node-8}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)\right]}}}}\right)\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)^{x^3}$$ Um die Parameter in der eckigen Klammer aufzulösen benutzt du diese Regel:$$ \left[In(u(x))\right]'=\frac{1}{u'(x)} \cdot u'(x)$$ Dann erhältst du:$$=\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)^{x^3}\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-10}{3}}\class{steps-node}{\cssId{steps-node-11}{x^2}}\ln\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-12}{\dfrac{1-x}{x+1}}}\cdot\class{steps-node}{\cssId{steps-node-13}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\dfrac{x+1}{1-x}\right]}}{\cdot}x^3\right)$$ Jetzt kannst du mit deiner erwähnten Quotientenregel ableiten:$$=\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)^{x^3}\left(3x^2\ln\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)+\dfrac{\frac{\class{steps-node}{\cssId{steps-node-16}{\class{steps-node}{\cssId{steps-node-15}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x+1\right]}}\cdot\left(1-x\right)}}-\class{steps-node}{\cssId{steps-node-18}{\left(x+1\right)\cdot\class{steps-node}{\cssId{steps-node-17}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[1-x\right]}}}}}{\class{steps-node}{\cssId{steps-node-14}{\left(1-x\right)^2}}}\left(1-x\right)x^3}{x+1}\right)$$ Hier hilft uns folgende Regel weiter:$$ \left[a \cdot u(x)+b\cdot v(x)\right]=a\cdot u'(x)+b\cdot v'(x) $$ Wenn wir das jetzt auf den Sachverhalt übertragen kommt folgendes heraus:$$=\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)^{x^3}\left(3x^2\ln\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)+\dfrac{x^3\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-19}{\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-21}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x\right]}}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-20}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[1\right]}}\right)}}\left(1-x\right)-\class{steps-node}{\cssId{steps-node-22}{\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-24}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[1\right]}}-\class{steps-node}{\cssId{steps-node-23}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x\right]}}\right)}}\left(x+1\right)\right)}{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}\right)$$ Da die Ableitung einer Konstante, in diesem Fall die 1 Null ist können wir das so umschreiben:$$=\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)^{x^3}\left(3x^2\ln\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)+\dfrac{x^3\left(\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-25}{1}}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-26}{0}}\right)\left(1-x\right)-\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-27}{0}}-\class{steps-node}{\cssId{steps-node-28}{1}}\right)\left(x+1\right)\right)}{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}\right)$$ Wenn wir das nun noch vereinfachen erhalten wir folgendes Ergebnis:$$=\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)^{x^3}\left(3x^2\ln\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)+\dfrac{2x^3}{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}\right)$$ Wenn wir das jetzt noch weiter vereinfachen erhalten wir letztendlich:$$\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)^{x^3}\left(3x^2\ln\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)+\dfrac{\left(1-x\right)x^3\left(\frac{x+1}{\left(1-x\right)^2}+\frac{1}{1-x}\right)}{x+1}\right)$$ Beide Graphen findest du hier (lila=Ableitung und blau= Stammfunktion)


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Hallo,

Du kannst das Ganze mittels  logarithmische Differentation ableiten , siehe hier:

http://www.math-grain.de/download/m1/diff-r/ableitung/log-ableitung-1.pdf

12.gif

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