Für welchen Wert von a, schneiden sich die Geraden?

Question

ich hänge jetzt seit gut einer stunde an einer Aufgabe und komme nicht wirklich weiter und so langsam gehen mir auch die Ideen aus, ich hoffe hier kann mir jemand helfen.

Gegeben sind die Geraden g: x = (-2;0;3) + r * (1;2;1)  und  h: x= (1;-3;0) + s*(a;1;2)

a) Begründen sie, dass g zu keiner Geraden h parallel ist.

-> Meine Antwort: Die Gerade h ist zu keiner Geraden h parallel die Richtungsvektoren für keinen Wert a vielfache voneinander sind.

b) Bestimmen die den Wert von a, sodass sich g und h schneiden

Hier habe ich die Geraden erstmal gleichgesetzt und versucht nach r oder s aufzulösen und dann in die jeweils andere gleichung einzusetzen um letztenendes a rauszubekommen, leider mache ich hier anscheinend immer wieder was falsch, egal wie oft und wie rum ich es versuche, ich hoffe jemand kann mir hier helfen.

Answer 1

a)
es gibt kein k und a sodass k·[1, 2, 1] = [a, 1, 2]

b)
Geraden gleichsetzen
[-2, 0, 3] + r·[1, 2, 1] = [1, -3, 0] + s·[a, 1, 2]

II. Gleichung nach s auflösen
0 + 2·r = -3 + s --> s = 2·r + 3

In III. Gleichung einsetzen und nach r auflösen
3 + r = 0 + 2·s
3 + r = 0 + 2·(2·r + 3) --> r = -1

s ausrechnen
s = 2·(- 1) + 3 = 1

In I. Gleichung einsetzen und nach a auflösen
-2 + r = 1 + s·a
-2 + (- 1) = 1 + (1)·a --> a = - 4

Answer 2

   Es gibt eine Determinante, mit der du entscheiden kannst, ob sich zwei Geraden schneiden, ohne explizit den Schnittpunkt zu berechnen.   Die beiden Geraden seien

    g1;2  (  k1;2  )  =  P1;2  +  k1;2  t1;2      (  1  )

    mit Startpunkt  P1;2    so wie Richtungsvektor  t1;2  Die Determinante lautet

     f  (  t1  ;  t2  )  :=  det  (  t1  |  t2  |  P2  -  P1  )      (  2  )

     Wie du weißt, ist eine  funktion immer eine eindeutige Funktion;  als  Erstes wäre also nachzuweisen, dass der Wert dieser Determinante nicht von der Wahl dieser Anfangspunkte abhängt.

   Wir wollen voraus setzen so wie hier,  dass die beiden Geraden nicht parallel sind -  weil sonst würde ja  ( 2 ) eh verschwinden.  Die Aussage:  Die beiden Geraden schneiden sich genau dann, wenn Determinante ( 2 ) verschwindet; Beweis.

   Nimm an sie schneiden sich ( notwendige Bedingung )  Dann setze  in ( 2 )

            P1  =  P2  =  Schnittpunkt        (  3  )

    Wenn sie Wind schief sind, betrachtest du die beiden   ( parallelen )  Ebenen  E1;2   .  Beide werden aufgespannt von den  beiden  Basisvektoren  t1;2 ; und es soll gelten

          P1;2  €  E1;2             (  4  )

    Dann verläuft g1 ganz innerhalb  E1 und g2 in  E2 .   Frage:  Wie musst du P1;2  verschieben längs g1;2  dass ihr Abstand minimal wird?  (   Diese Extremalbedingung  könnte man als verallgemeinerten Schnittpunkt bezeichnen. )

   Eine nähere Rechnung egibt:  Wenn ihre Verbindungslinie  (  P2  -  P1  )  senkrecht steht auf beiden Ebenen und damit auf   t1;2  D  die drei Spalten von    ( 2 )  sind  ===>  linear unabhängig.  Wie unser Musiklehrer  Pauli immer sagte,  der sehr Teorie lastig war

   " So das war die Teorie. Und jetzt kommt die Praxis. "

   " Welchen Notenwert hat der Pauli?  Halbe Note; hohler Kopf mit Hals ... "

                          |       1        a          1     | 

      det  =    3     |       2        1       - 1      |     =  0     (  5a  )

                          |       1         2      - 1      |

      Eine Determinante ist eine Tabelle, deren Einträge du nur richtig füllen musst.   Den Faktor  3  aus  Spalte 3  habe ich bereits heraus gezogen; wir wollen ihn ignorieren.  Regel von  ===>  Sarrus

   det  =  1 * 1 * ( - 1 ) + a * ( - 1 ) * 1 + 1 * 2 * 2 - 1 * 1 * 1 - a * 2 * ( - 1 ) - 1 * ( - 1 ) * 2   =  (  5b  )

    =  4  +  a  =  0  ===>  a  =  (  -  4  )     (  5c  )