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Sei n,m element von natürlichen Zahlen N. Beweise per Induktion nach m.


Sei \( n,m \in \mathbb{N} \) . Beweise per Induktion nach \(m\):

$$\binom{n}{n} + \binom{n+1}{n} + \binom{n+2}{n} + ... + \binom{n+m}{n} = \binom{n+m+1}{n+1}$$

beachte dabei die Formel: \(k < n\) gilt $$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n+1}{k} + \binom{n}{k}$$


Nun muss ich, dass ich am Induktions Anfang für m (weil ich ja nach m induzieren muss) für \(m\) 1 einsetzen muss, also erhalte ich:

$$\binom{n}{n} + \binom{n+1}{n} = \binom{n+1+1}{n+1}$$

Also gekürzt(da bin ich mir nicht sicher ob man das so machen kann aber,...)

$$\binom{n}{n} + \binom{n+1}{n} = \binom{n+2}{n+1}$$

nun habe ich versucht, das Ganze mal mit den Regeln auszuschreiben und erhalte dann:

$$1 + \binom{n+1}{n} = \binom{n+2}{n+1}$$

Die 1 weil, $$\binom{n}{n} = 1$$

Jetzt habe ich allerdings noch 2 weitere, wo ich nicht wirklich weiß, was zutun ist. Ich weiß nicht wie ich diese aus ihrem "Binom" rausschreiben kann. Ich hoffe, dass mir hier jemand vieeleicht weiter helfen kann.


Hier noch einige Regeln welche evetl. weiterhelfen:

\( \binom{n}{0}=1 \quad \binom{0}{0}=1 \quad \binom{n}{1}=n \quad \binom{n}{n-1}=n \quad \binom{n}{n-1}=n\)

\( \binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!} \quad \binom{n}{k}= \binom{n}{n-k} \quad \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} \quad \binom{n}{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \)

Avatar von

Verfolge mal die "ähnlichen Fragen".

Mit deinen Formeln geht es allerdings auch einfacher.

2 Antworten

0 Daumen
nun habe ich versucht, das Ganze mal mit den Regeln auszuschreiben und erhalte dann:


Nun kannst du die hinterste Formel in der ersten Zeile verwenden (geschickt substituieren!)

Du bekommst  1 + (n+1) = (n+2) . Das stimmt. Verankerung für m=1 ist fertig.

Avatar von 162 k 🚀

Meinst du damit, dass der IA fertig ist oder wie soll ich das verstehen?

Richtig. Die letzte Formel ist bei euch

(a tief (a-1)) = a         | Subst. a = n+1

(n+1 tief n) = n+1

(a tief (a-1)) = a        | Subst. a = n+2
(n+2 tief n-1) = n+2

Vom Duplikat:

Titel: Summe von Binomialkoeffizienten. Beweisen Sie per Induktion nach m

Stichworte: summenformel,binomialkoeffizient,vollständige,induktion

Sei n, m ∈ N. Beweisen Sie per Induktion nach m:

(n über n ) + ( n + 1 über n ) + ( n + 2 über n ) + · · · + ( n + m über n ) = ( n + m + 1 über  n + 1 )


Ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll. :)

Ich hänge momentan an derselben Aufgabe.

Der Beweis für m=1 war ja noch machbar. Aber Danach weiß ich nicht wie ich weiterrechnen soll.

Man müsste ja dann für m: m+1 einsetzen so viel ich weiß, aber ich hab keine Ahnung wie der Beweis dann weiter geht. Könnte mir da jemand helfen?

0 Daumen

Hallo

 dass du mit m=1 anfangen musst ist hoffentlich klar,

dann benutze die vors, dass es für m stimmt und addiere dazu (n+m+1,über n)

dabei natürlich die Definition der Koeffizienten mit den Fakultäten benutzen.

Fang an und versuch es und sag, wo genau du scheiterst.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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