a) s=infA
b) s ist eine untere Schranke von A und für jedes ε > 0 existiert ein x ∈ A
mit x < s + ε.
c) s ist eine untere Schranke von A und für jedes ε > 0 existiert ein x ∈ A
mit x ≤ s + ε.
a) ==> b) :
a) bedeutet: s ist die größte untere Schranke von A, also erst mal ist
s jedenfalls eine untere Schranke und es ist die größte.
d.h. Jede Zahl, die größer ist als s (also sowas wie s+ε) ist KEINE untere
Schranke, d.h. s+ε wird von mindestens einem x ∈ A überboten, formal heißt das: b) gilt.
b) ==> c)
Es gilt also : s ist eine untere Schranke von A und für jedes ε > 0 existiert ein x ∈ A
mit x < s + ε.
weil aus x < s + ε natürlich auch x ≤ s + ε folgt, gilt auch c)
c) ==> a)
Es gilt also:
s ist eine untere Schranke von A und für jedes ε > 0 existiert ein x ∈ A
mit x ≤ s + ε.
zu zeigen ist: s ist die größte untere Schranke. Na ja, eine unt. Schranke ist es ja.
Sei nun z>s und nehmen wir an, z sei auch eine untere Schranke.
wegen z>s ist z-s>0 und auch ε = (z-s)/2 > 0.
Dann sagt uns c): Es gibt ein x ∈ A mit
x ≤ s + ε
<=> x ≤ s + (z-s)/2
<=> x ≤ s/2 + z/2
<=> x - s/2 ≤ z/2
<=> 2x - s ≤ z
<=> x + (x-s) ≤ z
<=> x + ε ≤ z
wegen ε>0 also
<=> x < z im Widerspruch zu : z ist eine unt. Schranke.
