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Hallo

Sei $$ g : \mathbb R \rightarrow \mathbb R $$ beliebig und$$ f : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R $$ definiert durch $$ f(x, y) = yg(x) $$. Beweisen Sie, dass f genau dann im Nullpunkt differenzierbar ist, wenn g in x = 0 stetig ist.

Das ist doch eine genau dann wenn Aussage, also muss ich beide Richtungen zeigen.

Sei also f in (0,0) diffbar. Dann existieren die partiellen Ableitungen und diese müssen stetig sein:

$$ \partial_y f (x,y)=y $$und  $$ \partial_x f (x,y)=y g'(x) $$

Aber irgendwie komme ich dann nicht weiter. Wie wäre denn hier die Idee?

Bin ich auf dem richtigen Weg?

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Vom Duplikat:

Titel: Beweis Differenzierbarkeit von f, wenn g in x = 0

Stichworte: differenzierbarkeit,nullpunkt,stetigkeit,analysis

Sei g : ℝ → ℝ beliebig und f : ℝ2 → ℝ definiert durch f (x, y) = yg (x). 

Beweisen Sie, dass f genau dann im Nullpunkt differenzierbar ist, wenn g in x = 0 stetig ist.

Vom Duplikat:

Titel: differenzierbarkeit zeigen

Stichworte: differenzierbarkeit,stetigkeit,ableitung

Sei g: R → R, und sei f: R^2 → R gegeben durch f(x,y) := xg(y). Zeigen Sie, dass f genau dann im Punkt (0, 0)^T differenzierbar ist, wenn g in 0 stetig ist.

Vom Duplikat:

Titel: f ist genau dann diffbar, wenn g stetig ist.

Stichworte: stetigkeit,analysis

Mir fehlt eine Richtung dieser Aufgabe:

Sei f: ℝ2 → ℝ, und sei g: ℝ → ℝ gegeben durch f(x,y) := yg(x). Zeige, dass f genau dann im Punkt (0,0)T diffbar ist, wenn g in 0 stetig ist.

Die Richtung "<=", also aus stetig folgt diffbar, habe ich schon gezeigt.

Jetzt fehlt mir nur noch "=>", also dass aus diffbar die Stetigkeit von g folgt. Dabei tu ich mich nur etwas schwer.


2 Antworten

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Eine Funktion ist im Nullpunkt genau dann differenzierbar, wenn man sie da im Kleinen linearisieren kann: $$(1)\quad f(h,k)-f(0,0)=ah+bk+r(h,k)\quad\text{mit $\,\,\,r(h,k)=o(\lVert(h,k)\rVert)$.}$$ Fuer \((a,b)\) kommt nur der Gradient im Nullpunkt infrage. Rechnen wir erst mal den richtig aus: Aus \(f(x,0)=0\) für alle \(x\) folgt \(f_x(0,0)=0\) und \(f_y(0,0)=g(0)\) ist klar. Einsetzten in (1) ergibt $$(2)\quad g(h)k=g(0)k+r(h,k).$$ Loese (2) nach \(r(h,k)\) auf und zeige, dass das genau dann in \(o(\lVert(h,k)\rVert)\) liegt, wenn \(g\) in \(0\) stetig ist.

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Also nochmal:

Du schreibst die Zerlegung der Funktion gemäß der Definition hin:

$$ f(x,y)= f(0,0) + A (x,y)-(0,0))+ r((x,y) ||(x,y))-(0,0))||,$$

wobei der Rest folgende Eigenschaften haben muss: $$ r((0,0))=0 $$und $$ r in (0,0) stetig$$

D.h dann $$ f(x.y)= A +  r((0,0)) ||(x,y)|| $$

D.h bei dir in (1) hat dann meine Matrix A die Einträge a und b, d.h dann:


$$ g(x)y =g(0)y+ r((0,0)) ||(x,y)|| $$

Wie kann ich hier etwas mit dem Rest machen?

Ich wuerde lieber bei meiner Schreibweise bleiben. Deine sieht kaputt aus.

Es ist \(r(h,k)=(g(h)-g(0))k\), und Du musst noch zeigen: $$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{(g(h)-g(0))k}{\lVert(h,k)\rVert}=0\quad\Longleftrightarrow\quad\text{$g$ ist in $0$ stetig}.$$ Die Rechnung wird recht bequem, wenn man für \((h,k)\) Polarkoordinaten nimmt.

D.h dann ist h=r cos a

k=r sin a

Dann ist $$ lim_{r \rightarrow \infty} (g(r cos a) -g(0)) sin a$$

Wie folgt daraus die Stetigkeit?

Aus einem hingeklatschen Ausdruck (noch dazu mit falschem Grenzuebergang) wird schwerlich etwas folgen.

Also nochmal $$ ||(x,y)|| = \sqrt{ r^2 (cos^2 a + sin^2 a)}= r $$

Bei limes habe ich mich verschrieben. Dieser muss gegen 0 gehen:

Also dann $$  \lim_{r \rightarrow 0} \frac{(g(r cos (a))-g(0)) r sin(a) }{r} $$

D.h dann $$    sin a \lim_{r \rightarrow 0}  g(r cos a)-g(0) $$

D.h im Fall der Stetigkeit von  ist erlaubt, dass gilt $$     g( \lim_{r \rightarrow 0} r cos a)=g(0)   $$

Passt das so?

Stimmt das vielleicht so?

Das ist unvollstaendig bis wirr.

Also dann $$  \lim_{r \rightarrow 0} \frac{(g(r cos (a))-g(0)) r sin(a) }{r} $$

D.h dann $$    sin a \lim_{r \rightarrow 0}  g(r cos a)-g(0) $$

Was soll das werden? Du knallst da zwei Audruecke hin und tust so, als waeren das Aussagen.

Ich habe doch in Polarkoordianten transformiert. Dann das eingesetzt und ausgerechnet. Damit dann die letzte Gleichung gleich 0 ist, muss g stetig sein?

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Die partielle Abl. nach y ist g(x) !

Avatar von 287 k 🚀

Aso, d.h dann das wenn f diffbar ist, dann muss g stetig sein. Und das gilt dann auch im Nullpunkt. Reicht das schon?

Wie kann man die andere Richtung machen?

Nein, das heißt:

Wenn f im 0-Punkt diffb. ist, dann existieren die partiellen

Ableitungen im Nullpunkt und sind dort stetig.

Weil g(x) eine partielle Abl. ist, ist g in 0 stetig.

Für die andere Richtung habe ich auch grad keine Idee.

Ach ja stimmt.

Vllt fällt dir ja noch was ein?

Hat jemand noch eine Idee?

Wenn f im 0-Punkt diffb. ist, dann existieren die partiellen Ableitungen im Nullpunkt und sind dort stetig.

Voellig falsch.

Warum ist das denn für die Hinrichtung, das f diffbar ist falsch?
Wenn f im 0-Punkt diffb. ist, dann existieren die partiellen Ableitungen im Nullpunkt und sind dort stetig.

Aus der Differenzierbarkeit folgt die Existenz der partiellen Ableitungen, aber nicht deren Stetigkeit. Das ist nun mal die Faktenlage.

Und umgekehrt kannst Du nicht darauf schliessen, dass \(f_x\) im Nullpunkt stetig ist, weil \(g\) nicht viel hergibt. \(f_x\) existiert i.Allg. nicht mal in einer vollen Umgebung des Nullpunkts.

Aso gut:)

Wenn jetzt g stetig in 0 ist, wie zeige ich dann, dass f diffbar ist?

Das steht in dem anderen Thread. Du musst es nur noch vernuenftig aufschreiben.

Aber dann fehlt doch eine Richtung?

Wenn Du eine Richtung noch nicht ausgearbeitet hast, dann fehlt sie in der Tat. Die Formel $$\frac{r(h,k)}{\lVert(h,k)\rVert}=[g(r\cos\alpha)-g(0)]\sin\alpha$$ hilft für beide Richtungen

Jetzt habe ich alles zusammen. Vielen Dank:)

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