Quadratmatrizen beweisen

Question

Quadratmatrizen beweisen

Aufgabe 50.[6 + 3 Punkte] Für zwei Quadratmatrizen A,B ∈ Matn×n(R) heißt [A,B] := A · B − B · A Kommutator von A und B. Man sagt, dass A und B kommutieren wenn gilt: [A,B] = 0. (1) Beweisen Sie, dass wenn Quadratmatrizen A und B kommutieren, dann gilt für alle n ∈ N: (A+B)^n=∑((k=0))(n über k)A^kB^n-k Geben Sie ein Beispiel zweier Quadratmatrizen, für welche diese Formel nicht gilt.

2.) Bestimmen sie alle Matrizen die mit der Matrix A= ( 1 2
-1 1 ) kommutieren.

für die erste aufgabe habe ich zwei gegenbeispiele gefunden, aber ich weiß nicht wie ich die formel allgemein beweisen kann.
und zum 2. fällt mir nur die identische matrix ein.

Gefragt 22 Jun 2018 von Gast

📘 Siehe "Beweise" im Wiki

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habakuktibatong · Answer 1 · 2018-06-22T14:04:18+0000

Aufg 2) Der Witz; die Einheitsmatrix vertauscht mit jeder Matrix .

a b 0 2 - b 2 a

c d * - 1 0 = - d 2 c ( 1 )

Schau mal hier

https://matrixcalc.org/de/#%7B%7Ba,b%7D,%7Bc,d%7D%7D%2A%7B%7B0,2%7D,%7B-1,0%7D%7D

B A = 2 c 2 d ( 2 )

- a - b

Durch Vergleich von Matrixelement 1;2 fogt schon mal a = d ; in der Diagonale steht also die Einheitsmatrix . Setzen wir also a = d = 1 . Und Vergleich der Diagonalelemente gibt

b + 2 c = 0 ( 3 )

für die Nebendiagonalelemente.

Unsere Ausgangsmatrix hatte aber genau die Struktur ( 3 ) , so dass nur triviale Matrizen mit B vertauschen: Die Einheitsmatrix und sie selbst.

Rein vom Standpunkt der QM läge dies nahe, erweist sich B doch als Linearkombination der beiden Teppenoperatoren J_+ und J_(-) Man müsste mal die ganzen Drehimpuls_Kommutatoren nachrechnen. Wir haben Spindarstellung mit s = 1/2

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