Gesucht sind Maximum und Minimum von \(f : \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\) mit \(f(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i\) unter der Nebenbedingung \(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} = 1\). Die Nebenbedingung kann man äquivalent zu \(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} - 1 = 0\) umformen.
Betrachte nun die Lagrange-Funktion \(L\), welche durch \[L (x_1, \dots, x_n, \lambda) = f(x_1, \dots, x_n) +\lambda\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1\right)=\sum_{i=1}^{n} x_i+\lambda\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1\right)\] gegeben ist. Nun ist das Gleichungssystem \(\nabla L (x_1, \dots, x_n, \lambda) = 0\) zu lösen.
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : \frac{\partial}{\partial x_k}L(x_1, \dots, x_n, \lambda) =0\\ \frac{\partial}{\partial \lambda}L(x_1, \dots, x_n, \lambda ) =0\end{cases}\)
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : 1+\lambda\cdot 2\cdot x_{k}=0\\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1=0\end{cases}\)
Auflösen der ersten Gleichungen nach \(x_{k}\).
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1=0\end{cases}\)
Einsetzen in der ersten Gleichungen in die letzte Gleichung und Auflösen nach \(\lambda\).
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \sum_{i=1}^{n}\left(-\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}-1=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ n\cdot\left(-\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}-1=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ n\cdot\frac{1}{4\lambda^2}-1=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ n\cdot\frac{1}{4\lambda^2}= 1\end{cases}\)
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \frac{n}{4}= \lambda^2\end{cases}\)
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \lambda = \pm \frac{\sqrt{n}}{2}\end{cases}\)
Einsetzen der letzen Gleichung in die ersten Gleichungen.
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\cdot\left(\pm \frac{\sqrt{n}}{2}\right)}\\ \lambda = \pm \frac{\sqrt{n}}{2}\end{cases}\)
\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=\mp\frac{1}{\sqrt{n}}\\ \lambda = \pm \frac{\sqrt{n}}{2}\end{cases}\)
Damit hat man zwei kritische Punkte:
\(\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, -\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) bzw. \(\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right)\)
Da die Nebenbedingung \(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} = 1\) eine kompakte Menge im \(\mathbb{R}^n\) beschreibt, und \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) ststig ist, existieren Maximum und Minimum von \(f\) unter der Nebenbedingung. Ein kritischer Punkt muss nun die Minimumstelle sein und der andere kritische Punkt die Maximumstelle. Es ist \[f\left(-\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \sum_{i=1}^{n}\left(-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = n\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = -\sqrt{n}<0\] und \[f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n}} = n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}>0\text{.}\]
Demnach befindet sich das Minimum von \(f\) unter der Nebenbedingung bei \(\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, -\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) und hat den Wert \(-\sqrt{n}\), und das Maximum von \(f\) unter der Nebenbedingung befindet sich bei \(\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) und hat den Wert \(\sqrt{n}\).
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Mit der Schwarzschen Ungleichung erhält man \[\begin{aligned}\left\lvert f \left(x\right) \right\rvert^2 & = \left\lvert \sum_{i=1}^{n}x_i \right\rvert^2 = \left\lvert \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot 1 \right\rvert^2 \\ & =\left\lvert \left\langle\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\right\rangle \right\rvert^2 \\ & \leq \left\lVert\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix}\right\rVert^{2}\cdot \left\lVert\begin{pmatrix}1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\right\rVert^{2} \\ & = \underbrace{\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)}_{=1 \text{wegen Nebenbedingung}}\cdot \underbrace{\left(\sum_{i=1}^{n} 1^{2}\right)}_{=n} = n\text{.}\end{aligned}\] also \(\left\lvert f\left(x \right)\right\rvert\leq \sqrt{n}\). Damit erhält man \(-\sqrt{n}\leq f(x) \leq \sqrt{n}\) für alle \(x\in \mathbb{R}\), die die Nebenbedingung erfüllen. Diese Abschätzung stimmt gut mit den Werten \(-\sqrt{n}\) bzw. \(\sqrt{n}\) für das Minimum bzw. Maximum von \(f\) unter der Nebenbedingung überein.
