(a)
Wenn \(P(A) = 0\) ist, so ist \(P\left(B\middle| A\right)\) nicht definiert, so dass die Aussage dann keinen Sinn macht. Genauso ist \(P\left(A\middle| B\right) = 0\) für \(P\left(B\right) = 0\) nicht definiert. Ich nehme daher \(P(A)\ne 0\) und \(P(B)\ne 0\) an. Dann erhält man:
\(\begin{aligned}P\left(A\middle| B\right) = P\left(A\right)\quad & \Rightarrow\quad \frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)} = P\left(A\right) \\ & \Rightarrow\quad P\left(A\cap B\right) = P\left(A\right)\cdot P\left(B\right) \\ & \Rightarrow\quad \frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)} = P\left(B\right) \\ & \Rightarrow\quad P\left(A\middle| B\right) = P\left(B\right)\end{aligned}\)
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(b)
Seien \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängige Ereignisse. Dann ist \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\).
Es ist \[P(A) = P(A\cap\Omega) = P(A\cap (B\cap B^*)) = P((A\cap B)\cup(A\cap B^*)) \stackrel{(\#)}{=} P(A\cap B)+P(A\cap B^*) = P(A)\cdot P(B) + P(A\cap B^*)\text{.}\] Bei \((\#)\) ist eingegangen, dass \((A\cap B)\cap(A\cap B^*) = \emptyset\) ist.
Durch Subtraktion von \(P(A)\cdot P(B)\) erhält man: \[P(A\cap B^*) = P(A) - P(A)\cdot P(B) = P(A)\cdot (1-P(B)) = P(A)\cdot P(B^*)\]
Damit sind dann auch \(A\) und \(B^*\) stochastisch unabhängig.
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(c)
Seien \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängige Ereignisse. Dann sind nach (b) auch \(A\) und \(B^*\) stochastisch unabhängig. Wendet man (b) dann nochmals auf die Ereignisse \(\tilde{A}=B^*\) und \(\tilde{B}= A\) an, erhält man dass \(\tilde{A} = B^*\) und \(\tilde{B}^* = A^*\) stochastisch unabhängig sind. Damit sind dann also \(A^*\) und \(B^*\) stochastisch unabhängig.
