Komplexe Zahlen - Grundlegende Rechnungen. Beweise: Im(z³) + (Im(z))³ = 3*(Re(z))²*Im(z)

Question

haben diese aufgabe auf unserem übungsblatt aber irgendwie weiß ich nicht wie ich weitermachen soll

Sei z = x + iy ∈ ℂ. Zeige, dass:

Im(z³) + (Im(z))³ = 3*(Re(z))²*Im(z)

dann steht da jetzt ja: y³ + y³ = 3x²y (wenn ich das richtig verstanden habe)

mit umstellen komme ich dann auf: 0 = y(3x² - 2y²)

aber das bringt mich irgendwie nicht weiter hab ich das gefühl.

wäre für hinweise sehr dankbar

mfg

Answer 1

Hi,

das ist leider nicht korrekt.

Du hast Im(z^3) missverstanden. Hier musst Du erst z^3 ausrechnen und davon den Imaginärteil nehmen:

z^3 = x^3+3ix^{2}y-3xy^2-iy^3

Im(z^3) = 3x^{2}y-y^3

Also:

Im(z³) + (Im(z))³ = 3*(Re(z))²*Im(z)

3x^{2}y-y^3 + y^3 = 3*x^2*y

3x^{2}y = 3x^{2}y

Die Sache passt also ;).

Grüße

Comments

da war ich mir wirklich nicht sicher wie das Im(z³) gemeint war


vielen dank für die schnelle antwort :)

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Solange es nun klar ist^^.

Gerne :)

Answer 2

Achtung: Im(z^3) ≠ y^3

(x + i·y)^3
= x^3 + 3·i·x^2·y + 3·i^2·x·y^2 + i^3·y^3
= x^3 + 3·i·x^2·y - 3·x·y^2 - i·y^3
= (x^3 - 3·x·y^2) + i·(3·x^2·y - y^3)

Nun kann ich mich an die Aufgabe machen es zu zeigen:

Im(z^3) + (Im(z))^3 = 3 * (Re(z))^2 * Im(z)
(3·x^2·y - y^3) + y^3 = 3 * x^2 * y
3 * x^2 * y = 3 * x^2 * y

qed.