Hier ist es hilfreich den folgenden Grenzwert zu kennen: \(\)\(\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\) Dabei ist \(e = 2,71828\ldots\) die eulersche Zahl.
Damit erhält man: \(\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}a_n & = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}+5} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^2+5} \\ & = \frac{1}{\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^2+5} = \frac{1}{e^2+5}\end{aligned}\)
(Insbesondere existiert der Grenzwert.)
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Mit Konvergenzverhalten ist hier wohl einfach gemeint, zu überprüfen, ob die Folge konvergiert oder divergiert.
