Vollständige Induktion: Summenformel mit Fakultät im Nenner beweisen

Question

Ich brauch Hilfe bei dem Induktionsschritt!

Ich poste hier auch die Musterlösung ich brauche nur detailliert die Umformungsschritte, denn die kann ich nicht alle nachvollziehen.

Aufgabe ist:

$$A(n):\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { k-1 }{ k! } =\frac { n!-1 }{ n! }  }$$

Induktionsschritt (IS)
A(n)→A(n+ 1): Wir nehmen an, dass für ein gegebenes n≥1 die Induktionsvoraussetzung (IV)
A(n) gilt. Daraus folgt

$$\begin{aligned} \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { k−1 }{ k! }  } &=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { k-1 }{ k! }  } +\frac { (n+1)−1 }{ (n+1)! } &(0)\\&= \frac { n!−1 }{ n! } +\frac { (n+1)−1 }{ (n+1)! } &(1)\\&=\frac { (n+1)(n!−1) }{ (n+1)! } +\frac { (n+1)−1 }{ (n+1)! } &(2)\\&=\frac { (n+1)·n!−(n+1)·1 }{ (n+1)! } +\frac { (n+1)−1 }{ (n+1)! } \quad &(3)\\&=\frac { (n+1)!−(n+1) }{ (n+1)! } +\frac { (n+1)−1 }{ (n+1)! } &(4)\\&=\frac { (n+1)!−1 }{ ( n + 1)! } &(5)\end{aligned}$$

Answer 1

Du musst sagen, was du nicht verstehst. Und v.a. nicht alles als Wurm eingeben. Ich habe jetzt einfach mal zu jedem = eine Nummer und eine Kurzerklärung ergänzt.

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { k−1 }{ k! }  } =0letztenSummandenabspalten\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { k-1 }{ k! }  } +\frac { (n+1)−1 }{ (n+1)! } =1Induktionsvoraussetzung\quad \frac { n!−1 }{ n! } +\frac { (n+1)−1 }{ (n+1)! } =2gleichnamig machen \frac { (n+1)(n!−1) }{ (n+1)! } +\frac { (n+1)−1 }{ (n+1)! } =3ZweiteKlammerlinkerBruchAuflösen\frac { (n+1)·n!−(n+1)·1 }{ (n+1)! } +\frac { (n+1)−1 }{ (n+1)! } =4linkenZählervereinfachen\frac { (n+1)!−(n+1) }{ (n+1)! } +\frac { (n+1)−1 }{ (n+1)! } =5Bruchaddition \frac { (n+1)!−1 }{ ( n + 1)! }$$

Comments

Das ist im Prinzip dasselbe wie https://www.mathelounge.de/228652/beweis-durch-vollstandige-induktion-summe-fakultat-nenner nur war dort nicht die ganze Umformung unklar.

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Danke sehr hat mir schon sehr geholfen!

Jedoch eine kleine Frage hab ich noch.

Wieso wird aus n! * (n+1) = (n+1)!

, alejsa

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(n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*…*3*2*1

(n+1)* n! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)* ... *3 * 2* 1

Das ist dasselbe. Oder?

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Tipp: Text lässt sich in Tex mit

\text{hier steht ein Text }

setzen. Dann werden auch Leerzeichen eingebaut.