Sei X={ A ⊆ F3^2 : A ist ein affiner Teilraum von F3^2 bezüglich F3^2 sodass (1,0)∈ A}.

Question

ich bräuchte eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Sei X={ A ⊆ F₃² : A ist ein affiner Teilraum von F₃² bezüglich F₃² sodass  (1,0)∈ A}.

Wählen Sie die wahre Aussage aus.

1. X hat 11Elemente.

2. X hat 10Elemente.

3. X hat  6Elemente

Leider weiß ich gar nicht, wie viele Elemente X hat. F3 hat schon mal die Elemente 0,1,2 und da es im Quadrat ist hätte ich gesagt ist die Aussage drei richtig, aber ich weiß es nicht und es wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Die Elemente von X sind die affinen Teilräume von F₃², die (1;0) enthalten.

Einen affinen Teilraum A erhältst du ja dadurch, dass du zu einem Element x von F₃² alle Vektoren u eines

Untervektorraumes von F₃² addierst. Da (0;0) in jedem Unterraum ist, kannst du als x jedenfalls (1;0)

nehmen; denn das ist ja in A.  Dann musst du nur noch überlegen wie viel verschiedene

Untervektorräume F₃² hat, und ob die alle unterschiedliche affine Teilräume ergeben.

Es gibt einen 0-dimensionalen, vier 1-dimensionale  und den gesamten Raum (2-dim).

Das sind 6 Stück und die erzeugen auch verschiedene affine Teilräume.

Deine Antwort war also ( zufällig ? ) richtig.