Vollständige Induktion bei Ungleichung 4n+2 < 2^{n}

Question

es geht um die Vollständige Induktion bei Ungleichungen.

Für alle n mit n ∈ ℕ und n>4 gilt

Aufgabe: 4n+2 < 2^n

Induktionsanfang: sei n = 5

4*5+2 <  2^5

22      <  32

Induktionsvorausetzung: 4n+2 < 2^n

Induktionsbehauptung: 4*(n+1)+2 < 2^{n+1}

IS: 4(n+1) + 2 < 2^{n+1}

     4n+4+2 < 2^{n+1}

     2^n + 4 < 2^{n+1}

Wie gehe ich nun vor sodass ich zeigen kann dass die linke Seite kleiner ist als die rechte? Wenn ich die 2^{n+1} in 2^n und 2^1 verfasse habe ich

2^n+4 < 2^n * 2^1

somit habe ich schon mal auf der linke Seite das 2^n und auf der rechte seite 2^n

aber wie soll ich denn bitte zeigen das +4 < * 2 ?

Ich hatte bisher Aufgaben wo auch auf der rechten Seite ein + stand aber nun steht da ein *.

Brauche da bitte kurz Hilfe wie es weitergeht

Comments

Ich habe total die rechte Seite übersehen und war zu sehr mit der linken Seite beschäftigt.

Answer 1

4* n + 2 < 2^n     ( 1 )

Anfang:

für n = 5

4 * 5 * +2 < 2 ^5

2 < 32

=> Für n = 5   ( 1 )   ist wahr

Voraussetzung:

4 * n + 2 < 2 ^n      ( 2 ) 

Behauptung:

 4 * ( n + 1 ) + 2 < 2 ^{n + 1 }   ( 3 )

Schritt:

4 * n + 4 + 2 < 2 ^n * 2  ( 4 a )

Jetzt 2^n  durch linke Seite von ( 2 ) ersetzen:

4 * n + 6 <  ( 4 * n + 2 ) * 2

4 * n + 6 < 8 * n + 4

4 * n + 6 < 4 * n + 4 * n + 4    ( 4 b )

Jetzt muss noch gezeigt werden, dass der eine Teil aus ( 4 b ) stimmt. Nämlich:

6 < 4 * n + 4  ( 4 c )

Da kann man jetzt einfach 1 einsetzen:

6 < 8

oder man argumentiert so:

Da es sich bei der linken Seite um eine "lineare Steigung" handelt und auf der rechten Seite um eine konstante, ist die rechte Seite größer \(\forall \ n \geq 1\)

Das wäre mein Vorschlag.  Ich bin nur nicht ganz sicher, ob es legitim ist, so zu "argumentieren".

Gruß

Smitty

Answer 2

Induktionsschritt

-Angenommen die Aussage sei für ein beliebiges aber festes n∈ℕ,n>4 wahr, sodass gilt

$$ 4n+2<2^n\quad (IV) $$

-Dann gilt dies auch für n+1, also

$$ 4(n+1)+2<2^{n+1}\\ \Leftrightarrow 4n+6<2^{n+1} $$

-Dies zeigt man so

$$ 2^{n+1}=2\cdot 2^n \stackrel{(IV)}{>} 2\cdot (4n+2)=8n+4\stackrel{n>4}{>}4n+6$$

Damit wurde die Aussage für alle n∈ℕ,n>4 bewiesen.