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Aufgabe:

Bestimme das charakteristische Polynom:

 2   -1    4

4    -3    4

0     0    -2

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Gesucht ist das charakteristische Polynom der Matrix:

$$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 4 \\ 4 & -3 & 4\\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}$$

Nach der Definition gilt \(\chi_A(\lambda)=det(\lambda E-A\)). Wenn wir das auf dein Beispiel übertragen erhalte ich:

$$\chi_A(\lambda)=det\left(\left[\begin{pmatrix}\lambda &0 &0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}\right]-\left[\begin{pmatrix}2 & -1 & 4 \\ 4 & -3 & 4\\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}\right]\right)$$

$$\chi_A(\lambda)= \begin{pmatrix}\lambda-2 & 1 &-4 \\-4 & \lambda +3 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda +2\end{pmatrix}$$ Nun einfach ausmultiplizieren. Ich berechne hier mit der Regel von Sarrus:$$\chi_A(\lambda)=  \begin{vmatrix}\lambda-2 & 1 &-4 \\-4 & \lambda +3 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda +2\end{vmatrix}$$

\( =(\lambda-2)(\lambda+3)(\lambda+2)+1\cdot (-4)\cdot 0+(-4)\cdot (-4)\cdot 0-0 \cdot (\lambda +3)\cdot (-4)-0\cdot (-4)\cdot (\lambda -2)-(\lambda +2)\cdot (-4)\cdot 1 \)

Das musst du ausmultiplizieren und dann erhältst du dein Charakteristisches Polynom. Ich hoffe, dass ich nichts falsch gemacht habe. Das ist ziemlich aufwendig. Du kannst es bei Belieben auch nochmal selbst machen. Es gilt:

$$\begin{aligned} |A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} & = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h \\ & \quad -g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b \end{aligned}$$

Wenn ausmultiplizert, erhalte ich \(\chi_A(\lambda)=\lambda^3+3\lambda^2-4\). Falls du die Nullstellen der Funktion brauchst, gerne Fragen!

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Passt perfekt. Nach auflösen von \(\chi_A(\lambda)=\lambda^3+3\lambda^2-4\) erhalte ich als Eigenwerte \(\lambda_1=-2\) und \(\lambda_2=1\).

Was ich sehr komischen finde ist, dass Eigenwert auf Englisch "Eigenvalue" ist :D   (nur mathematisch)

Das war aber nicht die Aufgabe. Das charakteristische Polynom kann durch verschiedene Funktionen ausgedrückt werden.

War eigentlich ganz easy.

War eigentlich ganz easy.

Noch easier wäre es, wenn man gleich alle Nullsummanden weglässt, statt lambda k benutzt und konsequent ausklammert:
$$ =(k-2)(k+3)(k+2)+4(k+2)\\ =\left((k-2)(k+3)+4\right)(k+2)\\ =\left(k^2+k-2\right)(k+2)\\ =(k-1)(k+2)^2.$$Nun hat man das CP zwar nicht als Polynom, aber das braucht man ja eh nicht.

"Aufgabe ist es das Charakteristische Polynom zu bestimmen."

Nun hat man das CP zwar nicht als Polynom, aber das braucht man ja eh nicht.

Alles richtig gemacht! Hier soll nur das Polynom aufgestellt und nicht die Eigenvalues gefunden werden! Wenn du das ausmultiplizierst hast du doch aber das Polynom...

Zählen die Linearfaktoren eines Polynoms nicht als Polynom?

Ja, das ist natürlich richtig. Doch auch unter diesem Gesichtspunkt ist

Das musst du ausmultiplizieren.

jetzt ein wenig einfacher. Andererseits muss das CP meiner Meinung nach nicht unbedingt in Polynomform sein.

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    Auch in der Algebra muss man etwas sehen .  Die Spalten einer Matrix sind doch die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren .    Und der von e1;2  aufgespannte 2 D Unterraum ist invariant - haben wir das?  Es spaltet gewisser Maßen eine 2 X 2 Kästchenmatrix ab;  nennen wir sie U wie Untermatrix und die große 3 X 3 M wie Matrix .

   so und jetzt erfährst du zum ersten Mal, wie man man das organisiert - die Eigenwerte einer 2 X 2 Matrix . Nicht so elend langatmig wie in den Büchern .

   Für die Säkulardeterminante mache ich den  quadratischen Ansatz


    p_U  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q       (  1a  )


    p und q folgen aus Vieta dem geschmähten stiefkind :


     p  =  E1  +  E2  =  Sp  (  U  )  = 2  -  3  =  (  -  1  )      (  1b  )

    q  =  E1  E2  =  det  (  U  )  =  2  *  (  -  3  )  -  (  -  1  )  *  4  =  (  -  2  )     (  1c  )

   p_U  (  x  )  =  x  ²  +  x  -  2      (  1d  )


   Und wie man quadratische Gleichungen löst - Mensch wenn du nur bissele fix bist, siehst du die Lösung sofort im Kopf  ===>  Satz  von der rationalen Nullstelle  ( SRN )

   Das Polynom ( 1d ) ist normiert.   Damit folgen aus dem  SRN  ganzzahlige Wurzeln .  In ( 1c ) ist die 2 in zwei Faktoren zu zerlegen - das dürfte jetzt kein Akt sein. Selbst redend musst du noch auf das Vorzeichen achten - hinreichende Bedingung ist Vieta p in ( 1b )


     E1  =  (  -  2  )  ;  E2  =  1      (  2  )


   Mal sehn, ob du schon fix bist. Wie geht es jetzt weiter? Da wir nur noch einen Eigenwert haben, gehen wir über die Spur.


  Sp  (  M  )  =  Sp  (  U  )  -  2      (  3a  )

  E1  +  E2  +  E3  =  E1  +  E2  -  2  ===>  E3  =  (  -  2  )       (  3b  )


     "  Tadaaah  !!! "


    Ach muss ich dir erklären.   Der Name eines ( fossilen ) Portals ist hier tabu, weil das angeblich Schleichwerbung sei .

  Ein Administrator unterschrieb mal eine höchst brillante Idee bei einer Steckbriefaufgabe mit " Tadaah "    Die bekannte Suchmaschine " Idealo "  hat dies von Hier abgekupfert - Matelounge sollte mal Idealo  auf Gebrauchstadaahschutz  verklagen ...

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Nach einiger Recherche konnte ich deinen Rechenweg verstehen. Der war einfach nur exzellent.

 Danke für das Kompliment.  Das ist typisch meine Schule; ich habe mal einen Kurs belegt in ===> Darstellungsteorie ( Matrixdarstellungen von Gruppen . )

  Seitdem bin ich auf algebraische Invarianten und   invariante Unterräume fixiert .

  Weil ich hier so oft angemault werde, ich würde unverständlich argumentieren . In Wahrheit präsentiere ich hier eine Mogelpackung; was ich hier Aussage, wie sich der Entartungsgrad eines Eigenwerts in Spur und Determinante fortpflanzt .

   Tepretisch setzt das schon ein Verständnis von Elementarteilern und der Hauptraumzerlegung voraus .

   Ich gehe nur still schweigend davon aus: Es merkt niemand, wenn ich mich fein still verhalte ...

Darf man erfahren, wo ( in welchem Bundesland ) und wann du zur Schule gegangen bist? Denn ich habe die Schule ( auch immer noch ) so kennengelernt, vor allem im Matheunterricht, dass nur ein - vielleicht auch mal ein zweiter Weg richtig ist.

Weil ich hier so oft angemault werde, ich würde unverständlich argumentieren . In Wahrheit präsentiere ich hier eine Mogelpackung; was ich hier Aussage, wie sich der Entartungsgrad eines Eigenwerts in Spur und Determinante fortpflanzt .

Ich verstehe das! Du musst aber zugeben, dass der Otto Normalverbraucher deine Antworten in der Regel nicht versteht. Das könnte vielleicht daran liegen, dass sich deine Antwort nicht nur von der Mathematik handelt, sondert immer mit Geschichtchen ausgeschmückt wird.

Ich bin ein großer Fan solcher Tricks, aber nur wenn sie mir den Rechenweg vereinfachen und nicht komplizieren.

Darf man erfahren, wo ( in welchem Bundesland ) und wann du zur Schule gegangen bist?

Habakuk spricht immer wieder von Frankfurt, weshalb ich Hessen vermuten würden. Oder zumindestens dort studiert hat. Mir hat er es bisher nicht verraten.

  Hessen ist richtig . Die Rahmenrichtlinie schreibt zwingend vor,  dass der Mathelehrer sämtliche Initiativen der Klasse aufzugreifen hat.  Der soll also nicht dozieren, sondern sich die Zeit nehmen, wenn jemand was Falsches äußert, mit der Klasse darüber zu debattieren, wo genau da der Fehler liegt .

   Ein paar Beispiele.  Aktion Albert Lortzing

   " Auch ich war ein Jüngling mit lockigem Haar. "

   Als Schüler wusste ich selbst redend nicht alles das, was mir heute gegenwärtig ist .  Ich erinnere mich noch;  an Frau Gumboldt richtete ich mal die Frage

   " Wieso soll die Quadratur des Kreises nicht möglich sein? Ich könnte doch her gehen und den Einheitskreis mit der Beißzange auftrennen. Dann habe ich eine gerade Strecke der Länge 2 Pi ... "

    Freundlich lächelnd hielt sie mir vor

   " Eine Beißzange ist weder ein Zirkel noch ein Lineal ... "

   Unser Herrr Streusel in der Oberstufe gab sich so viel Mühe, dass sich viele Schüler immer wieder anerkenned äußerten.   Oft noch in der folgenden Stunde fragte er, wer hat gestern den Beitrag x geleistet und die frage y gestellt? Das war Beteiligung am mündlichen Unterricht, die bewertet wurde.

    Ich selbst stieg in jenen Jahren ja auf zum Zampano / Superman. Den Unterricht bestritt ich mit Referaten über Aufgaben und Beweise, die ich mir selbst ausgedacht oder in der Literatur gefunden hatte. Streusel kannte so gut wie keine von ihnen - der hatte oft einen ganz schweren Stand . Nur ein Beispiel .

   Einmal gab er uns die Hausaufgabe, das Weg_Zeit_Gesetz  r = r ( t )   der Keplerbewegung zu integrieren. Ich war der einzige, der es raushatte - und das gegen eine Riege von Einser Superstars . Nur eben. Nach einem halben Jahr kam auch für mich das Erwachen.

    Ich ging die rechnung nochmal durch;  r ( t ) ist - eine Zykloide . Schlagartig wurde mir klar, dass der Streusel keine Ahnung hatte, was bei der von ihm selbst gestellten Hausaufgabe rauskommt ...

    Ja es verhält sich  sogar so,  dass kein Lehrbuch der klassischen Mechanik diese Lösung veröffentlicht .

   In der großen ===> Gilgamesch Nacht des SWR Hörfunks äußerte sich der Redakteur

   " Gilgamesch trägt den titel ' der Wanderer ferner Wege '  Was ist das, ein ' Wanderer ferner Wege ' ?   wir wissen es nicht ... "

   Hätte er nur mich gefragt. Ich hätte es ihm sagen können.

    Er  HAT  mich aber nicht gefragt ...

   Bei all dem war Streusel aber nicht frei von Komplexen.  So behauptete er mal, ein Polynom n-ten Grades habe n freie Parameter. Ich meldete mich, nein.  n + 1 . Als er mir vorhielt, es seien doch nur  n Nullstellen,  korrigierte ich, er habe den Leitkoeffizienten übersehen.

   Nach der Stunde bat er mich nach Vorne - wieso das?

   " Bitte behalten Sie das für sich.  Denn wenn Sie das überall rumerzählen, denkt jeder, ich wüsste nicht, was ein Polynom ist ... "

   Eine besonders Verhängnis volle Rolle in meinem Leben spielt Rolf Thierbach; der war Scientologe ===>  Er war Perfektionist   Auf dem Schulfest  " hatte "  man fröhlich zu sein;  und gegen Damen " hatte " man sich als Kavalier zu betragen. Überhaupt " hatte "  man alle Tänze zu können.

   Auf dem Schulfest tritt Kollegin Müller an ihn heran, er solle ihr die Schrittfolge des Tanzes  " Madison " beibringen.    Zwecks dieses Behufs ziehen sich beide in den Kartenraum zurück .

   Einem gewitzten Schüler gelang der Schnappschuss für das   Heft zum 150. Jahrestag unserer Anstalt. Es zeigt dier beiden von Hinten . Es wirkt, als wenn sie an der Rinne des Herren WC steht und das Bein heben muss.   Thierbach,   galant und Kavalier wie stets, stützt sie am Ellbogen, damit sie in dieser prekären Lage nicht umkippt ...

   In meiner Erinnerung ist Thierbach derjenige Lehrer aus dem Kollegium, der jeden  ( fachlichen ) Einwand oder Widerspruch von uns Schülern souverän meistete.   Aber den Einfluss der Sekte spürst du deutlich.  So weigerte er sich noch bis Kl. 8 ,  die negativen Zahlen durchzunehmen. Wahrscheinlich weil seine Sekte das " positive "  Denken auf ihre Fahnen geschrieben hat ...

   So hatten wir als Sextaner in einer Klausur mal zu rechnen  30  -  50  +  80  .  Die Meisten rechneten darauf hin

    30  -  50  =  (  -  20  )  ;  80  -  20  =  60

   Gegen dieses intuitive Vorverständnis von negativen Zahlen ist auch gar nichts einzuwenden aus zwei Gründen: Ersens führt es nie zu falschen Ergebnissen. Und zweitens fehlt der Schule echt die Zeit, auch nur die elementarsten Rechenregeln zu beweisen wie etwa  a b = b a .

   Thierbach jedoch greift zur Verbalinjurie.  Das hat der so beim Auditing der Scientologen kennen gelernt;  alle, die das wie oben gerechnet haben, beschimpft er schlank weg als " Spinner "

   Aber wie soll man es  den sonst rechnen? Angeblich hättest du von alleine darauf kommen sollen, dass

    30 - 50 + 80 = 30 + 80 - 50

  was wiederum sich nur dann rechtfertigen ließe, wenn du schon alle ( positiven UND negativen ) ganzen Zahlen kennst und weißt, dass |Z  kommutativ ist .

  Seit diesen Erfahrungen mit Thierbach reagiere ich pbrigens allergisch auf alle Versuche, Scheuklappen in die Matematik einzuführen - irgendwelche Verfahren für Verboten zu erklären.

   Weißt du, was das Genialste war, was ich beim Thierbach je rleben durfte? Schüler " Deydy " meldet sich und stellt mir nichts dir nichts die These in den Raum, alle Kommazahlen seien periodisch.  Mann war der Thoerbach geplättet.  Mit dem Ausdruck ausgesuchter Hochachtung verneinte er; wir dürften das aber noch nicht wissen. Da seien wir noch zu klein zu ...

    Jedes Mathe Bastelbuch kennt jene nicht periodische Zahl µ

   µ  := 1.101 001 000 100 001 000 001 ...

   Klar wie ich das meine?

   Die Sekte stand eindeutig auch Pate, als Thierbach es sorgfältig vermied, im Zusammenhang mit per. Dezibrüchen zu erwähnen, dass auch .9999 ... = 1 .  (  Scientologen meiden jede Zweideutigkeit; in jeder Lebenslage gibt es das eine Richtige, das es zu beherrschen gilt. Punkt. )

   Unser   " Wolfram "  war Mathe Einser . Irgendwie muss sein Vater aus seinen Berichten über den Unterricht erspürt haben, woher da der Wind wehte. Was ist Zivilcourage? Eines Tages kommt der Einser Wolfram zu mir dem Dreier ( Was will der bloß von MIR? )   und flüstert mir ins Ohrli gleich einer errötenden Jungfrau

   " Mei  Pap-piii  hat gesagt,  1/3 = .333  Also sind 3/3 = .999  ...  = 1 . Stimmt das? "

   " Muss ich passen; hab ich noch nie gehört. Und wenn du's genau wissen willst: Das geht mir aber sowas am Aaasch vorbei. "

   Kurz vor Ende der Stunde meldet sich Wolfram. Nicht weil das ein ganzer Kerl gewesen wäre.   aber was sollte er denn seinem Pappi antworten?

   Vor Angst schlotternd bringt Wolfram sein Anliegen vor. Man merkt deutlich, dass es ihm gelungen ist, Thierbach aus dem Konzept zu bringen.   Thierbach spielt die ganze Affaire runter so nach dem Motto: Na; habt ihr gehört? Das gibt es also auch ...

   Nicht verschwiegen werden darf aber: Thierbach war der größte Meisterdokumentenfälscher, der mir je begegnet ist. Auf Befehl der Sekte fälschte der jede Klausur in der Handschrift des Schülers und zündete das Originalheft an ...

   So hätte ich einmal rein von der Punktzahl eine 3 verdient . Thirrtbach jedoch machte aus einer richtigen LKösung eine falsche; und eine Aufgabe, die ich in Wirklichkeit zur Hälfte hatte, hatte ich angeblich gar nicht - 5 .

   Was? Ihr haltet das für eine Verschwörungsteorie?

   In einer Geometrieklausur   in  Kl. 7 setzte Thierbach alle Zweien herunter auf 3 ( und umgekehrt ; ich gehörte zu den Gewinnern. )  Die übrigen Noten bewertete er korrekt.

   Hier ist doch die Hochburg der Wahrscheinlichkeitsteoretiker. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowas bloß zufällig aus Versehen geschieht?

   Bei Besprechung der Korrektur kam das natürlich raus. Das Motiv, das Scientology  damit verfolgt:  Die wollen mal unsere sittliche Reife testen.

   Als ich den Klassenraum verlassen will, drohen mir mehrere Jungs mit Klassenkeile. Müller

   " Wenn dju das Maul gehalten hättest, hätte ich jetzt noch meine 2. "

   " Und eshalb willst du dich mit mir schlagen? "

   " exakt "

   " Sind wir beide uns einig, dass wir schon seit drei Wochen keinen Fight mehr miteinander hatten? "

   " ja "

   " Brauchtest du je einen Vorwand, mich zu überfallen und zu schmähen? Wieso ausgerechnet diesmal? "

   " Abr die 3 ..."

   " Ich bin nicht die Ursache deiner schlechten Leistungen.   Wenn du bessere Noten willst - und dein bisheriges verhalten zeigt ja nun eher das Gegenteil - dann musst du was tun. Und außerdem schreibe ich in den meisten Matheklausuren 4 .

   Kannst du mir mal anvetrauen, was du ausgerechnet von mir willst, du Scherzkeks? "

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