Die neue Aussage "M ⊂ (Z \ N) ∪ {0,1}" mit M={-1,0,1} ist wahr, weil
Ab hier geht schon deine Argumentation schief los und hat auch im Verlauf keinen Zusammenhang mehr. Die Aussage ist NICHT RICHTIG!
Betrachten wir das zur Illustration mal ausgeschrieben.
$$ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}\\\mathbb{Z}=\{0,\pm1,\pm2,...\}\\\mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}=\{0,-1,-2,...\}\\[10pt]\mathbb{Z}\setminus \mathbb{N} \cup \{-1,0\}=\{0,-1,-2,...\}=\mathbb{Z}\setminus \mathbb{N} $$
Findest du in der unteren Vereinigungsmenge die +1 wieder??? NEIN. Und wie ist M definiert? Naja als $$ M=\{-1,0,1\}. $$ Und damit ist M KEINE TEILMENGE von $$ \mathbb{Z}\setminus \mathbb{N} $$
Mach dir bitte damit nochmals die DEFINITION der Teilmenge klar. Im Groben sagt sie dir folgendes:
Man hat eine Menge A. Dann nennt man eine Menge B eine Teilmenge von A, in Zeichen B ⊆ A, wenn jedes Element aus A auch in B enthalten ist.
Und jetzt aufpassen! Hier wird noch nicht gesagt, dass die Mengen unterschiedlich sein müssen! Denn, eine Menge kann auch von sich selbst eine Teilmenge sein.
Hat man nun aber wirklich den Fall, dass B ⊆ A , aber A≠B gilt, dann schreibt man B ⊂ A, auch echte Teilmenge genannt.
Übertragen auf die obige Situation ist nicht jedes Element aus M in Z\N enthalten; von daher auch keine Teilmenge. ALSO: AUSSAGE FALSCH.
