Basis bestimmen um obere Dreiecksmatrix zu erhalten

Question

ich soll zu der folgenden Matrix eine Basis bestimmen, sodass die darstellende Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist.

Sie f: ℂ3-->ℂ3 und

A=(3  0  -2

      -2  0  1

      2   1   0).

Nun habe ich schon das charakteristische Polynom gebildet das p(x)=-x³+3x²-3x+1 lautet. Somit ist x_1,2,3=1 der Eigenwert von A. Des weiteren gilt für den Eigenvektor: Kern(A-E)=⟨(1,-1,1)⟩.

Nun hätte ich noch den Kern der Hauptvektoren berechnet, denn dann kann ich eine Basis zusammenstellen, dass S^-1AS=JNF und meine Jordan- Normalform( JNF) ist doch gleichzeitig dann meine obere Dreiecksmatrix oder?

Für die Hauptvektoren ist Kern(A-E)²=⟨(1,0,0),(0,-1,1)⟩. Somit sind diese beiden Vekoren ja aber vom Eigenvektor linear abhängig. Dann erhalte ich so auch keine 3 linear unabhängigen Vektoren.

Kann mir bitte jeamnd weiterhelfen oder sagen wo mein Denkfehler liegt?

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((3+,+0+,+-2),(++++++++-2,++0,++1),(++++++++2,+++1,+++0))

Die dreifache Nullstelle des charakteristischen Polynoms wird im Link bestätigt.

Wohin willst du genau in ℂ^3?

genügt dir nicht?

"ähnliche Frage" mit Antwort von mathef https://www.mathelounge.de/549749/basis-bestimmen-damit-darstellende-matrix-dreiecksmatrix

Answer 1

Du brauchst doch 3 Basisvektoren, also bestimme mal

Kern(A-E)^3 = ℂ^3

Nun brauchst du erst mal einen Basisvektor von Kern(A-E)^3,

der nicht ijn Kern(A-E)^2 ist.  Das könnte   v3 = (0;0;1)^T sein.

Dann einen aus Kern(A-E)^2 , der nicht in Kern(A-E) ist.

Das wäre dann vielleicht  v2= (1;0;0)^T  und dann noch den

aus Kern(A-E), das war ja    v1= (1,-1,1)^T

A*v1=v1 , also ist die erste Spalte der Darstellungsmatrix

1
0
0.

Dann A*v2 berechnen und in dieser Basis darstellen, das gibt

A*v2 = (3;-2;2)^T = 2*v1+1*v2 also ist die 2. Spalte der Darstellungsmatrix

2
1
0

und dann A*v2 berechnen und in dieser Basis darstellen, das gibt

A*v3 = (-2;1;0)^T = -1*v1-1*v2+1*v3 also ist die 3. Spalte der Darstellungsmatrix

-1
-1
1

Comments

Ah ok vielen Dank also wähle ich die Vektoren einfach aus den einzelnen Kernen.

Kann ich auch den v3 so wählen wie du und dann v2 und v1 wie folgt wählen?

v2= Kern(A-E) *v3=(-2,1,-1)

v1= Kern(A-E)²*v3=(-2,2,-2)

Also ich komme auf die gleiche JNF wie du.

Oder ist dein Vorgehen sinnvoller?