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Gegeben sei die Funktion f(x) = ax^3 + 3x^2 + 3x. Für welche Werte des Parameters a gibt es zwei Extremalstellen, genau eine Extremalstelle, keine Extremalstelle?

Ich habe Unklarheiten bei der Berechnung der Aufgabe.

Gefragt vor von

3 Antworten

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Hallo,

Leite die Funktion ab:$$f_a'(x)=3ax^2+6x+3$$ Berechne die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel:$$x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot (3a)\cdot 3}}{2\cdot 3a}$$ Das notwendige Kriterium für eine Extremstelle ist, dass \(f'(x_E)=0\). Du bestimmst also nun den Definitionsbereich \(D\):$$D=\{a∈ℝ|a<0 ∨ 0<a≤1\}$$ Es gibt also keine Extrema, wenn \(a\) eine Zahl ist, die \(≥1\) ist oder \(0\). Ich vermute mal, dass es nur ein Extrema gibt, wenn von der Ableitung nur eine (reelle) Nullstelle exisitiert.

Genau eine Nullstelle gibt es für \(a=0\), weil das kubische Glied wegfällt und quadratische Gleichungen nur eine "Extremstelle" haben (Scheitelpunkt).

Beantwortet vor von 8,9 k

Genau ein Extremum gibt es genau dann, wenn a=0 ist.

Also, wenn die Ableitung genau eine Nullstelle hat. Like I said.

Es genügt, den Term T unter der Wurzel zu betrachten.

T>0 --> 2 Nullstellen

T=0 --> 1 NS

T<0 --> keine NS

Und was ist mit dem Nenner des Bruchs? Der darf auch nicht null werden, in der Diskriminante schon.

Für a = 0 ist der Bruch nicht definiert.

Hier stand etwas falsches.

D = { x∈ℝ | a<0 ∨ 0<a≤1 }

Das macht wohl keinen Sinn

Macht schon sinn. Look closer.

So wie das dasteht, ist es sinnlos!

Wegen des "∨" - ∨ was?

Was sagt denn deine Bedingung hinter |  über die reellen Zahlen x aus,  die Elemente der Menge D sein sollen ?

Das ist genau richtig, so wie ich es gemacht habe. 95% bin ich mir sicher.

Wie wäre es mit  D = { a∈ℝ | a<0 ∨ 0<a≤1 }   ?

....... Ups.

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  Ich bin ja immer für die Zaubertricks:


    f_a  '  (  x  )  =  3  (  a  x  ²  +  2  x  +  1  )  =  0       (  1a  )


           g  (  x  )  :=  1/3  f  '  =  (  a  -  1  )  x  ²  +  (  x  +  1  )  ²       (  1b  )


     Fallunterscheidung; a Propos   Fallunterscheidung  .  Im ZDF  Studienführer kam mal,  wenn du das Mathestudium hast,  nimmt dich jede Perso mit Kusshand -  weil die nämlich wissen, dass du  FALLUNTERSCHEIDUNG  gelernt hast.

   Dein Chef sagt dir, welche Aktionen dein Programm auslösen soll, wenn es mit Error abschmiert. Der legt dir aber keine vollständige Disjunktion vor,  hat meist nicht alle Konsequenzen bedacht. Dazu hat der viel zu wenig Zeit; wozu hat der   schließlich dich?

   (  Ich als promovierter Physiker entstamme einem Welt_Elektronikkonzern;  bei einem schwierigen Problem meinte mein Chef   "  Onkel  Bernd  "  mal )

    " Ich habe nur gesagt, machensich paar Gedanken, wie es gehen  KÖNNTE .

    Wenn ich es alleine schaffen würde  - wozu brauchte ich dann Sie? "  )


    Also meine Fallunterscheidung geht so:  Fall 1 :  a  >  1

    Dann hast du in ( 1b ) offenbar die Summe aus zwei reellen Quadraten; und die ist Null  genau dann , wenn jeder Summand für sich verschwindet.


             x  =  0  ^ x  =  (  -  1  )  ;  Widerspruch      (  2  )


     Fall 2 ; a  =  1  Dann hast du in ( 1b )  die Doppelwurzel  x1;2  =  (  -  1  )  Ich sage ja immer

   "  Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "

    Der Fachmann weiß: So bald die erste Ableitung eine doppelte Nullstelle hat, liegt ein ===>  Terrassenpunkt vor. Machen wir die Probe.

   Nein; für Wendepunkt braucht's keine 2. Ableitung. Viel zu kompliziert um sieben Ecken gedacht;  du gehst immer aus von der Normalform.   Und in deinem Fall ist die für a  = 1  eh automatisch gegeben.  Dann gilt


         x_w  =  -  1/3  a2  =  (  -  1  )      (  3  )


     Na wer sagt denn, dass der Löwe kein Schmalz frisst?


    Fall 3  ;   0  <  a  <  1


        Ich setze noch


          1  -  a  =:  b  ²    ;     b  >  0       (  4a  )


      Dann folgt mit der 3. binomischen Formel


     g  (  x  ;  a  )  =  (  x  +  1  )  ²  -  (  b  x  )  ²  =      (  4b  )


     =   (  x  +  1  +  b  x  )  (  x  +  1  -  b  x  )  =      (  4c  )

    =  [  1  +  (  1  +  b  )  x  ]  [  1  +  (  1  -  b  )  x  ]  =  0     (  4d  )


     Satz vom Nullprodukt


     x_max  =  -  1  /  ( 1  -  b  )  ;  x_min  =  -  1 / (  1  +  b  )      (  5a  )


 

  ( Macht euch   (  4a  )  bitte klar,  dass nicht nur a  , sondern auch  0  <  b  <  1  )  ( Die  Minuszeichen in ( 5a ) darfst du nie verbergen;  das wäre genau so falsch, wie Brüche nicht zu kürzen. )

    Woher weiß ich jetzt auf einmal, was Min und was Max ist?

    " Sie singen immer wieder die selbe Melodie  ... "

    Und zwar verlaufen alle kubischen Polynome PUNKT SYMMETRISCH  zu ihrem Wendepunkt; die Extremata liegen immer Spiegel symmetrisch.

   Rein von der Asymptotik  gehen alle Polynome rechts gegen  (  +  °°  )  ;  dass RECHTESTE  Extremum ist stets ein  MINIMUM .

    Fall 4 ;  a  =  0   Dann ist dein Polynom gar nicht mehr kubisch


     f  (  x  ;  0  )  =  3  (  x  ²  +  x  )  ===>  x_min  =  (  -  1/2  )       (  5b  )


   (   Wir befinden uns in Übereinstimmung mit ( 5a )  ;  du musst setzen  b  =  1  )

   Dann ereignet sich aber bei dem Maximum eine Stratakofe; offensichtlich verduftet dieses nach  (  -  °°  )  Das ist übrigens in Übereinstimmung mit  unserer Wendepunktformel  (  3  )  ;  in Normalform   hätte dein Polynom nämlich den Koeffizienten     a2  =  3 / a  , und das divergiert für  a  ===>  0

    Fall 5  a  <  0 bietet nichts wirklich Neues außer dass der ===>  Leitkoeffizient nunmehr negativ ist.  Die Extrema tauschen die Plätze;  Min links und Max rechts. Aber denkt mal selber bissele nach.

Beantwortet vor von

Deinen letzten Abschnitt solltest du nochmal überarbeiten.

  So weit ich das sehe, zeichnet sich der Fall a < 0 dadurch aus,  dass ( siehe  ( 1.4a ))  nunmehr b  >  1  .   Und wenn wir unserer Konvention folgen, Minuszeichen nicht zu versteckeln, nimmt     ( 1.5a ) nunmehr die Form an


         x_min  =  -  1  /  (  b  +  1  )  ;  x_max  =  1 /  (  b  -  1  )       (  2.1 )


    Das ist ganz witzig;    der " b Plus " Term stellt in beiden Fällen das  Minimum dar.  In ( 1.5a )   haben ja Max und Min gleiches Vorzeichen.    Dort ist aber   ( k > 0 )  das Minimum der betragskleinere; wegen des entgegen gesetzten Vorzeichens in ( 2.1 ) muss ( k < 0 )  das negative Extremum das Minimum sein.

   Dagegen das Maximum hat ja unterschiedliches Vorzeichen;  in ( 2.1 ) ist es an dem  Pluszeichen kenntlich; es steht rechts, wohingegen es in ( 1.5a ) das betragskleinere war.

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Guten Abend.

Die Funktion f besitzt (a) genau dann zwei Extremstellen, wenn der Parameter a und die Steigung m der Wendetangente gegensätzliche Vorzeichen aufweisen, (b) genau dann eine Extremstelle, wenn a=0 ist, und (c) genau dann keine Extremstelle, wenn a≠0 und m=0 sind.

Das sollte leicht nachgerechnet werden können.

Beantwortet vor von 13 k

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