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Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, für die die Reihe \( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n - 3 } x ^ { 2 n + 1 } \) konvergiert.


Wie geht man hier mit dem Exponenten von x um also dem 2n+1 ? Ich weiß wie man mit Konvergenzradien von alternierenden Reihen umgeht die auf x^n enden aber hier verwirrt mich der Exponent.

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$$x^{2n+1}=x*(x^2)^{n}=x*z^n\\ \text{mit }x^2 = z$$

ziehe nun das erste x vor die Summe.

Dann hast du eine normale Potenzreihe der Form

$$\sum_{n=0}^{\infty}{a_nz^n}$$

deren Potenzradius du normal mit z.B Cauchy-Hadamard bestimmen kannst.

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Was ist dann mit dem vorgezogenen x hat das dann irgendeine Auswirkung auf den Konvergenzradius oder kann das in dem Fall vernachlässigt werden?

Nein,das vorgezogene x ist nur ein Faktor, es ändert gegebenfalls den Wert der Reihe, aber nicht das Konvergenzverhalten.

Verstehe also wird der Konvergenzradius dadurch nicht verändert sondern beispielweise die Randberechnung?

Was meinst du mit Randberechnung?

Beispielsweise wird gegeben dass der Konvergenzradius R=1 so wissen wir, dass alles
im Intervall (-1,1) konvergiert und alles außerhalb von [-1,1] divergiert. Aber da bleiben noch die Punkte 1 und -1 die wir auf Konvergenz untersuchen müssen, wird da dann das x wieder miteinbezogen?

Beispielsweise wird gegeben dass der Konvergenzradius R=1 so wissen wir, dass alles
im Intervall (-1,1) konvergiert und alles außerhalb von [-1,1] divergiert.

Genau.

Aber da bleiben noch die Punkte 1 und -1 die wir auf Konvergenz untersuchen müssen, wird da dann das x wieder miteinbezogen?

Ne,das kannst du weglassen, ist nur ein konstanter Faktor und ändert an der Konvergenz nicht.Wenn du dich davon überzeugen willst, so rechne beide Varianten durch, einmal ohne das x und einmal das x mit im a_n enthalten.

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