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Ich soll folgende Aussage per Induktion beweisen:

Für alle natürlichen Zahlen n gilt:

$$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2  = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

Ich denke dass ich das Grundprinzip der vollständigen Induktion verstanden habe und habe folgenden Ansatz:

Erstmal die Summe auf der linken Seite zusammengefasst

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 2 } $$

Dann setze ich n=1 und erhalte auf beiden Seiten das Ergebnis 1, kann mit dieser Annahme also weiter machen.

Nun ersetze ich n durch n + 1 und erhalte:

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } k ^ { 2 } = ( n + 1 ) ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 2 } = ( n + 1 ) ^ { 2 } + \frac { ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2 ( n + 2 ) ) } { 6 } $$

Nun stehe ich aber auf dem Schlauch was die weitere Umformung betrifft und bitte um Hilfe / Verbesserung :)

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Du hast auf der rechten Seite n bereits durch (n+1) ersetzt, das darfst du aber nicht. Du musst zeigen, dass sich das ganze aus der Addition von (n+1)^2 ergibt.

$$(n+1)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = (n^2+2n+1) + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}= \frac{6n^2+12n+6}{6} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Jetzt einfach auf deine obige Form bringen (ohne das (n+1)^2 versteht sich)

von

Ooh, also habe ich die n + 1 auf der rechten Seite im falschen Schritt eingesetzt weil die Form mit n + 1 das ist was ich am Ende gleichsetzen möchte?

Vielen dank für die Hilfe, aber habe immer noch Schwierigkeiten bei der Umformung, da mir auch Grundlagen fehlen, muss Analysis aber leider im Rahmen meines Studiums belegen :'D.

hat sich erledigt, habe es hinbekommen!

Könntest du deine vollständige Lösung zeigen? Ich komme nämlich auch nicht weiter

$$n(n+1)(2n+1)=(n^2+n)(2n+1)=2n^3+n^2+2n^2+n$$

So jetzt addierst du 6n^2 + 12n +6 und teilst am Ende nochmal durch 6.

Das ganze dann wieder in eine Klammer zu fassen ist recht schwer, deshalb versuche es mal so:

Am Ende soll ja $$\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$$ rauskommen. Ich schlage vor, die multiplizierst auch das mal aus und guckst, ob am Ende das gleiche rauskommt.

+2 Daumen

Das sieht bei mir wie folgt aus:

Zu zeigen:

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)
Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)
1^2 = 1/6·2·3
1 = 1
Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)
Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)
1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)
1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)
1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1
1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1
Stimmt !
von 284 k

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