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Zerlegen Sie den Vektor \( \vec { a } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) \) in einen Vektor \( \vec { a } _ { \| } \) parallel zum Vektor \( \vec { b } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \\ { 2 } \end{array} \right) \) und einen Vektor \( \vec { a } _ { \perp } \), der senkrecht auf \( \vec { b } \) steht.

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Lass es mich mal so zeigen:

Es gibt einen Vektor (a parallel b) \(a_{IIb}  \) und einen Vektor (a senkrecht b) \( a_{⊥b}\), also

\(a_{IIb} \; a_{⊥b} = b \; a_{⊥b} =0  \) 

Wir wandern ein t-stückchen parallel b = \(a_{IIb} \)= t b bis wir senkrecht abbiegen um an die Spitze von a zu kommen \( a_{⊥b}\) = (a - t b)

===> b (a - t b) =0 ===> t=1/9 ===> \(a_{IIb} \, :=  \, \frac{1}{9} \left( \begin{array}{r}1\\2\\ 2\\ \end{array} \right) \) ==> \(a_{⊥b} \, :=  \,\frac{1}{9} \left( \begin{array}{r}8\\7\\ -11\\ \end{array} \right) \)

mitBild:

blob.png

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Auf die ergebnisse in der Zeichnung bin ich auch gekommen mit 8/9 = 0,88889 usw. Aber wie kommt man auf:

$$= \frac { 1 } { 9 } \left( \begin{array} { r } { 8 } \\ { 7 } \\ { - 11 } \end{array} \right)$$

Wie rechnet man das aus?

Den Vektor \( \vec{ a } _ { \perp } \) erhält man dann mittels:

$$\vec { a } _ { \perp } = \vec { a } - \vec { a } _ { \| } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) - \frac { 1 } { 9 } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \\ { 2 } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 9 } \left( \begin{array} { c } { 8 } \\ { 7 } \\ { - 11 } \end{array} \right)$$

Ich weiß jetzt nicht wirklich, was Du noch hören willst.

Mein Weg führt letztendlich auf die gleiche Rechnung, wie in Deiner Lösung (für a_⊥), deshalb hab sie nicht explizit ausgeschrieben - was ist daran unklar?


$$\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}-\frac{1}{9}\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 1-\frac{1}{9}\\1-\frac{2}{9}\\-1-\frac{2}{9} \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} \frac{8}{9}\\\frac{7}{9}\\-\frac{11}{9} \end{pmatrix}$$

Jetzt \( \frac{1}{9} \) wieder ausklammern et voilà!

Meintest du das?

Meine Antwort bezog sich auf den vorletzten Kommentar und ja, auf die Idee könnte man aufgrund des letzten Kommentars kommen, das man Bruchrechnen erklären sollte. Aber da

>auf die ergebnisse in der zeichnung bin ich auch gekommen mit 8/9 = 0,88889 usw..

sagte er was anderes. Verwirrend...

@wächter: Da du schon alles erklärt hattest, fiel mir das als einzige Möglichkeit ein, weil der FS von seinen "Ergebnissen aus der Zeichnung" sprach.

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Ansatz:

1                    1
1       =   x *   2           +  a    
-1                    2


Nach   a⊥    auflösen und dann    a⊥    * a = 0 verwenden gibt

1-x  +  1 -2x  +  1+ 2x = 0    also    x=3.

Damit ist die Zerlegung:

1                    1                 -2
1       =     3*   2           +    -5
-1                    2                 -7

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verstehe leider null wie das gehen soll


die lösung müsste lauten



a) habe ich verstanden ...kein problem


aber b) sch... richtig rein



blob.png

und dann    a⊥    * a = 0 verwenden

\(a_\perp\) soll lt. Aufgabenstellung senkrecht auf \(b\) stehen - also: \(a_\perp \cdot b = 0\)

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