Prüfe, zeige und beweise ein unbestimmtes Integral

Question

Ich habe ein Mathereferat über Integrale. Als letzten Punkt muss ich erklären, wie man erkennt, ob ein Integral uneigentlich ist und anhand eines Beispiels die Problempunkte zeigen und jedes Integral berechnen, für das es möglich ist. Habe es in diversen Büchern gefunden, aber es ist überall so unverständlich erklärt. Ich hoffe, dass mir hier jemand dabei helfen kann.

Ich soll auch dieses Beispiel lösen und den Limes bestimmen, gelöst habe ich es, bei mir kommt 0,5 heraus, aber beim Limes tu ich mich schwer:

$$ \int _ { 0 } ^ { \infty } x e^{-x^2} $$

Answer 1

Man spricht von einem unbestimmten Integral, wenn eine der beiden Bedingungen erfüllt ist:

1.) Eine (oder beide) der Integrationsgrenzen ist unendlich.

2.) Innerhalb der Integrationsgrenzen liegt eine Definitionslücke der Funktion. Eine Definitionslücke ist z.B. die Stelle x=0 für die Funktion f(x)=1/x.

In beiden Fällen ist nicht klar, ob das Integral existiert.

Um dein Beispiel auszurechnen gehst du folgendermaßen vor:

$$ \left. \begin{array} { l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x = \lim \limits _ { c \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { c } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x } \\ { = \lim \limits _ { c \rightarrow \infty } [ - \frac { e ^ { - x ^ { 2 } } } { 2 } ] _ { 0 } ^ { c } = \lim \limits _ { c \rightarrow \infty } ( - \frac { e ^ { - c ^ { 2 } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. $$

Answer 2

f(x) = x * e^{-x^2}

Zunächst brauchen wir eine Stammfunktion

F(x) = -e^{-x^2} / 2 + c

Wenn wir x gegen plus oder minus unendlich gehen lassen geht e^{-x^2} gegen Null. Damit haben wir ein uneigentliches Integral deren Fläche wir berechnen können.