M und N endliche Menge mit |M| = |N|

Question

hab heute schon zu viel Mathe gemacht und bin jetzt komplett verwirrt. Daher bräuchte ich Hilfe bei folgender Aufgabe:

Seien M und N endliche Mengen mit |M| = |N|. Wie viele bijektive Abbildungen von M nach N gibt es? Beweisen Sie Ihre Aussage.

Als Tipp wurde gegeben das man die Anzahl der bijektiven Abbildungen für den Fall, wenn N zwei, drei, vier Elemente enthält berechnen soll.

Danke für jegliche Form der Unterstützung!

(Wenn dazu eine kleine Erklärung kommen könnte, wäre ich noch viel dankbarer! :D)

Answer 1

Hi,

Seien \( M =\lbrace a_1,...,a_n \rbrace \) und \( N =\lbrace b_1,...,b_n \rbrace \) endliche Mengen, dann gibt es \( n! \) bijektive Abbildungen \( M \to N \).

Denn jedes Element aus M wird auf genau ein Element in N abgebildet. Fang an die Abbildungen zu konstruieren:

\( a_1 \) kann auf n Elemente abgebildet werden.

\( a_2 \) dann auf alle außer \( f(a_1) \), also auf n-1 Elemente.

usw.

\( a_n \) kannst du dann nur noch auf das letzte verbleibende Element schicken. Hier bleibt somit nur noch 1 Möglichkeit.

Insgesamt dann n*(n-1)*...1=n! Konstruktionsmöglichkeiten.