Formel mit Produktzeichen beweisen mit vollständiger Induktion

Question

bei folgender Aufgabe komme ich irgendwie nicht mehr weiter

Aufgabe: für alle n ∈  ℕ: \( \prod_{i=1}^{n}{1-\frac{1}{(i+1)^2}} \) =\( \frac{n+2}{2*(n+1)} \)

Der Induktionsanfang ist kein Problem aber beim Induktionsschritt komme ich nicht mehr ganz weiter.

So weit bin ich schon gekommen:

z.z. : \( \prod_{i=1}^{n+1}{1-\frac{1}{(i+1)^2}} \)=\( \frac{(n+1)+2}{2*((n+1)+1)} \)

1-\( \frac{1}{((n+1)+1)^2} \)*\( \prod_{i=1}^{n}{1-\frac{1}{(i+1)^2}} \)                             n → n+1

1-\( \frac{1}{((n+1)+1)^2} \)*\( \frac{n+2}{2*(n+1)} \)

1-\( \frac{1}{(n+2)^2} \)*\( \frac{n+2}{2*(n+1)} \)

1-\( \frac{1}{(n+2)*(n+2)} \)*\( \frac{n+2}{2*(n+1)} \)

Da komm ich jetzt nicht mehr weiter und wie bekomme ich die "-1" am Anfang weg. Vielleicht kann mir ja jemand einen kleinen Denkanstoß geben.

Comments

Mich erstaunt, dass (1 - Bruch) in der Behauptung nicht in Klammern gesetzt wurde. Das wäre sinnvoll, damit das i im Bruch auch variiert, wie das Produkzeichen das vielleicht will.

Denke an Punkt vor Strichrechnung.

Answer 1

Hallo

 1. n+2 kürzen,

2 auf den Hauptnenner bringen, so addiert man IMMER ganze Zahlen und Brüche.

3. 1/(n+1) ausklammern und anschließend kürzen.

Gruß lul

Comments

was meinst du mit

2 auf den Hauptnenner bringen

wenn ich n + 2 kürze, dann komme ich auf
1- \( \frac{1}{n +2} \) * \( \frac{1}{2*(n +1)} \)

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Würde mich jetzt auch mal interessieren, wie es weitergeht :)

Answer 2

Hi,

du hast fast alles richtig gemacht!

Dein Fehler war die 1, die du nicht berücksichtigt hast:

Du hast nach deiner Induktionsvoraussetzung dann:

$$ \frac{n+2}{2(n+1)}\cdot \left(1-\frac{1}{(n+2)^2} \right) $$

$$ \frac{n+2}{2(n+1)} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} $$

$$ \frac{1}{n+1} \left(\frac{n+2}{2}-\frac{1}{2(n+2)} \right) $$

$$ \frac{1}{n+1}\left(\frac{(n+3)(n+1)}{2(n+2)}\right) $$

$$ \frac{n+3}{2(n+2)} $$

Q.E.D