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Es seien \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) und \( \vec{c} \) drei verschiedene Vektoren im \( R^3 \).

Zeigen Sie:

a) \( \vec{a} × (\vec{b} × \vec{c}) = (\vec{a} · \vec{c})\vec{b} − (\vec{a} ·\vec{b})\vec{c} \)

b) \( \vec{a} × (\vec{b} × \vec{c}) +\vec{b} × (\vec{c} × \vec{a}) + \vec{c} × (\vec{a} ×\vec{b}) = 0 \)

c) Die Vektoren \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) und \( \vec{c} \) liegen genau dann auf einer Geraden, wenn folgende Gleichung gilt:

\( (\vec{a} ×\vec{b}) + (\vec{b} × \vec{c}) + (\vec{c} × \vec{a}) = 0 \).


Allgemein würde ich auch gerne wissen wollen, wie man solche Formeln beweist.

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Vom Duplikat:

Titel: Vektorprodukt a × b × c = (a ·c)b − (a·b)c zeigen

Stichworte: vektorprodukt,kreuzprodukt,gleichung

Aufgabe:

Es seien a, b und c drei verschiedene Vektoren im R^3. Zeigen Sie:

a × b × c = (a ·c)b − (a·b)c



Tipp: Schau mal, ob andere Mitglieder diese Frage nicht bereits eingestellt haben.

Bsp. Mitglied Lillyfee

https://www.mathelounge.de/584830/aufgaben-berechnen-mit-vektoren

Hallo

 das ist schnell in Komponenten hingeschrieben. oder mach dir klar in Welche Richtungen die Kreuzprodukte weisen.

Gruß lul

4 Antworten

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Es seien ~a,~b und ~c drei verschiedene Vektoren im R3

~a = \( \left(\begin{smallmatrix} \mathrm{a}_1\\\mathrm{a}_2\\\mathrm{a}_3 \end{smallmatrix}\right) \)
~b = \( \left(\begin{smallmatrix} \mathrm{b}_1\\\mathrm{b}_2\\\mathrm{b}_3 \end{smallmatrix}\right) \)
~c = \( \left(\begin{smallmatrix} \mathrm{c}_1\\\mathrm{c}_2\\\mathrm{c}_3 \end{smallmatrix}\right) \)
Setze in die linke Seite ein.
Forme um bis du die rechte Seite bekommen hast.

~ steht für Vektor

Das hast du schon durch "Es seien ~a,~b und ~c drei verschiedene Vektoren im R3" zum Ausdruck gebracht. Der einzige Grund, Vektoren zusätzlich noch mit Pfeilen, Tilden oder Ähnlichem zu kennzeichnen, ist, die Lesbarkeit zu erhöhen. Mathematisch betrachtet sind solche Kennzeichnungen überflüssig.

Avatar von 105 k 🚀

Wie vereinfacht man den Term am Anfang ?

Komme em letzten Punkt nicht weiter15420268299325011886406510833033.jpg

Wie kommt man von dort aus jetzt auf das Ergebnis.

Kann mir keiner weiterhelfen ?

Nun die Vektoren komponentenweise zusammenzählen.

( A, B, C ) + ( D, E , F ) + ( G, H, K) = (A + D + G, B + E + H, .... )

Mit den Vorzeichen aufpassen! Um A, D, ... gehören erst mal Klammern, die dann korrekt aufzulösen sind.

ich kann das überhaupt nicht nachvollziehen kann das jemand vorzeigen LG

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a) Wenn Du es zeigen sollst, würde ich es einfach nachrechnen

a:=(a1,a2,a3), b:=(b1,b2,b3), c:=(c1,c2,c3)

Wie beim letzten mal ;-):

1:VP:=a⊗(b⊗c) 

2:SP:=(a c) b - (a b ) c

3: VP- SP

Avatar von 21 k
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Ohne Vektorpfeile

(0) \(c = a + r \; \left(b - a \right)\)

(1) \(v \otimes v = 0\)

(2) \(v \otimes w + w \otimes v = 0\)

(3) \(  a \otimes b+ b \otimes c+ c \otimes a =  \)

(4) \(  a \otimes b+ b \otimes \left(a + r \; \left(b - a \right) \right)+ \left(a + r \; \left(b - a \right) \right) \otimes a = \)

(5) \( a \otimes b+ b \otimes a + r \; \left(b \otimes b - \left(b \otimes a \right) \right)+ a \otimes a + r \; \left(b \otimes a - \left(a \otimes a \right) \right) \)

===>(1) (2)===> die Behauptung

Avatar von 21 k

Wäre das dann die Behauptung oder muss ich da noch was machen

ist das jetzt die fertige lösung

Also aweng mitdenken wäre schon angebracht - was sollest Du denn beweisen?

Ich soll folgendes beweisen

Die Punkte zu ⃗a,⃗b und ⃗c liegen genau dann auf einer Geraden, wenn folgende Gleichung gilt:
( ⃗a × ⃗b ) + ( ⃗b × ⃗c ) + ( ⃗c × ⃗a ) = 0 .

Welches Ergebnis erhältst Du also aus (5), welche aus der Anwendung der Geraden entstanden ist, wenn Du (1) und (2) anwendest?

0 Daumen

b) Du kannst \(\vec{a}= \begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix} \) , \(\vec{b}= \begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix} \) und \(\vec{c}= \begin{pmatrix} c_x\\c_y\\c_z \end{pmatrix} \) ansetzen, die Vektorprodukte damit formal ausrechnen und zum Schluss addieren.

Avatar von

Das habe ich schon bereits gemacht aber ich komme nicht auf diese Formel die gegeben ist Jetzt ist meine Frage wie kriege ich das hin Lg:-)

Zeige mal deine Rechnung. Du darfst deine Rechnung auch fotografieren, wenn wir sie lesen können.

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