Aufgabe:
Das ist kein Hilfegesuch, sondern eine Knobelaufgabe:
Man beweise, dass in einem Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen gilt:
wβ*(a+c) = 2*a*c*cos(β/2)
Tipp: Betrachte den Flächeninhalt des Dreiecks ABC- einerseits als Summe der Inhalte der beiden durch die Winkelhalbierende wβ erzeugten Teildreiecke
- andererseits als eine im Ganzen zu berechnende Fläche.
Viel Vergnügen!
…
Wenn das Quiz in den nächsten 48 h nicht beantwortet, würde es mich freuen, wenn du mir deinen Lösungsweg per E-Mail zukommenlassen würdest (siehe Profil) - oder besser: Du postest es als Kommentar!
@Gats62
wenn ich jetzt du wäre, würde ich folgende Antwort schreiben:
AΔ = 1/2 * Grundlinie * Höhe
Das wäre dann einer deiner geliebten Impulse :-)
Ja. und nun muss man darüber nachdenken, warum in einer Formel, die mit Flächenberechnung zusammenhängen soll, auch eine Winkelfunktion vorkommt.
Im Dreieck gilt immer A = 0,5*a*c*sin(ß)
Das gibt dann für die Teildreiecke und das ganze Dreieck
0,5*a*wγ*sin(ß/2) +0,5*c*wγ*sin(ß/2) = 0,5*a*c*sin(ß)
also (a+c)*wγ*sin(ß/2) = a*c*sin(ß)
fehlt noch sin(ß) / sin(ß/2) = 2 * cos(ß/2) besser
bekannt als Formel für den doppelten Winkel
sin(ß) = 2 * cos(ß/2) * sin(ß/2) .
Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht :
Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten : u/a = v/c (u+v=b)u^2•c^2 = v^2•a^2 | Kos.satz( w^2 + a^2 - 2wa cos (β/2) )•c^2 = ( w^2 + c^2 - 2wc cos (β/2) )•a^2w^2•c^2 + a^2 c^2 - 2wac^2 cos (β/2) = w^2•a^2 + a^2 c^2 - 2wca^2 cos (β/2) | + (ac•cos (β/2))^2(wc - ac cos (β/2))^2 = (wa - ac cos (β/2))^2(wc - ac cos (β/2))^2 - (wa - ac cos (β/2))^2 = 0((wc - ac cos (β/2)) + (wa - ac cos (β/2)) ) • ((wc - ac cos (β/2)) - (wa - ac cos (β/2)) ) = 0(wc + wa - 2ac cos (β/2)) • (wc - wa) = 0w•(a+c) = 2ac cos (β/2) oder a=c (dann ist die Beh. die Def des cos im rechtw. Δ)
@ mathef:
So isses.
@rc: Hast du wirklich befürchtet, dass das 48 Stunden dauern könnte?Wenn sogar ich habe das rausbekommen habe, konnte das nicht so schwer sein.
@abakus
das weiß ich nicht. Die Herleitung ist nicht schwer.
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