Finden Sie alle nichtperiodischen Brüche

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle nichtperiodischen Brüche.

Irgendwie kriege ich es nicht hin, das Problem zu lösen. Ich weiß, dass der Nenner dafür ein Produkt aus zweien oder Fünfen sein muss, weil das die Primfaktoren von 10 sind:

1/5 und 1/2 sind nichtperiodisch und somit müssen alle nichtperiodischen Zahlen geteilt durch 5 oder 2 auch nichtperiodisch sein.

Aber wie beweise ich, dass es keine anderen nichtperiodischen Brüche gibt?

Answer 1

Angenommen, die Dezimaldarstellung eines Bruches endet (da er nicht periodisch ist), nach n Stellen nach dem Komma. Eine Multiplikation mit 10ⁿ macht ihn dann zur natürlichen Zahl. Wenn man das wieder umkehrt, indem man diese natürliche Zahl durch 10ⁿ teilt, erhält man einen Bruch, dessen Nenner aus einer Zehnerpotenz besteht und somit nur durch Potenzen von 2 und 5 teilbar ist.