Für welche Parameter werden die beiden Vektoren linear abhängig? a = (1,−2) und bt = (t^2,3t−1)

Question

Aufgabe:

Für welche Parameter t ∈R werden die beiden Vektoren a = (1,−2) und bt = (t^2,3t−1) in der Anschauungsebene V = R2 linear abhängig? Betrachten Sie dabei zunächst die Spezialfälle t = 0 und t = 1.

Answer 1

a = (1,−2) und bt = (t^2,3t−1)

Für t=0 ist das b = (0,-1 ) Das kann nie ein Vielfaches von a sein.

Für t=1 ist b=(1,-2) also gleich a, also sind sie lin. abh.

Für alle anderen Fälle muss es ein k geben mit

a * k = b also

k=t^2   und  -2k = 3t-1

                     (-2k+1)/3  = t

in die erste:

k =  ((-2k+1)/3)^2  ==>  k=3,17 oder k=0,08

Also sind sie lin. abh. für  t=1 und für t=±√3,17  und für t=±√0,08

Comments

für t=1 ist doch b=(1,1*3-1) also b=(1,2)!?

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Hast recht, da hab ich gepennt.

Answer 2

a = (1,−2) und bt = (t2,3t−1) in der Anschauungsebene V = R2 linear abh¨angig? 

Betrachten Sie dabei zun¨achst die Spezialf¨alle t = 0 und t = 1.

t = 0

a = (1, -2)

b0 = (0,-1)

b1 = (1, 3-1) = (1,2)

Was mir das bringt, ist mir nicht klar.

1k = t^2             (I)

-2k = 3t - 1          (II)

(I) in (II) einsetzen

-2 t^2 = 3t - 1

0 = 2t^2 + 3t - 1

Quadratische Gleichung liefert die beiden Resultate:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2t%5E2+%2B+3t+-+1+%3D0