Man löse mit Partialbruchzerlegung das folgende Integral

Question

Bitte helft mir bei der Partialbruchzerlegung von folgendem Integral. Die Nullstellen habe ich, nun weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll.

$$ \int \frac { x ^ { 4 } } { 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) } dx $$

Answer 1

Ansatz:

a/(x - 1) + b/(x + 1) + c/(x - 2) + d + e·x

Bringt man das auf einen Bruchstrich erhält man:

(e·x^4 + x^3·(d - 2·e) + x^2·(a + b + c - 2·d - e) - x·(a + 3·b + d - 2·e) - 2·a + 2·b - c + 2·d) / ((x + 1)·(x - 1)·(x - 2))

e = 1/2

d - 2·e = 0

a + b + c - 2·d - e = 0

a + 3·b + d - 2·e = 0

- 2·a + 2·b - c + 2·d = 0

Lösung des LGS: a = - 1/4 ∧ b = 1/12 ∧ c = 8/3 ∧ d = 1 ∧ e = 1/2

-1/4 / (x - 1) + 1/12 / (x + 1) + 8/3 / (x - 2) + 1 + 1/2 x

 

Damit können wir jetzt recht einfach eine Stammfunktion bilden

- 1/4·ln(x - 1) + 1/12·ln(x + 1) + 8/3·ln(x - 2) + x + x^2/4

Answer 2

Aufwendig zu berechnen man muss dem  Zähler bei nur linearfaktoren auf die allgemeine Form

ax1+bx2+cx3 bringen

Ergebnis. 1+ x/2+(8/(3(x-3))-1/(4(x-1)) +1/(12(x+1))