Ermittle die Nullstellen der Funktion f ohne WTR

Question

Aufgabe:

Ermittle die Nullstellen der Funktion f ohne WTR.

a) \( f(x)=x \cdot\left(x^{2}+1\right) \)
b) \( f(x)=x^{4}-13 x^{2}+36 \)
c) \( f(x)=-40 x^{2}+9+16 x^{4} \)
d) \( f(x)=2 x^{3}+10 x^{2}+12 x \)
e) \( f(x)=-\frac{1}{3} x^{4}+3 x^{2} \)
f) \( f(x)=x^{3} \cdot(x-0.5) \cdot(x+7)^{2} \)

Gerne kurzen Rechenweg dazu schreiben.

Answer 1

a) Satz vom Nullprodukt (entweder x= 0 oder x^2+1=0 -> 3 NS)
b) Substituieren $$z=x^2, \:x^4-13x^2+36=0 \Leftrightarrow z^2+13z+36=0$$ dann PQ-Formel und am Ende Resubstitution
c) Gleiche Vorgehensweise wie bei b
d) Kubische Gleichung des speziellen Typs, wo das konstante Glied fehlt ⇒ x ausklammern $$x(2x^2+10x+12)=0$$⇒ Satz vom Nullprodukt (siehe a)
e) Substituieren (z=x^2) (siehe b)
f) Satz vom Nullprodukt, sprich wie muss ich x in den Klammern setzen, damit diese jeweils Null wird/werden $$x_1=0.5,x_2=-7,x_3=0$$

Comments

e) Substituieren (z=x^2) (siehe b)

Hier ist "x² ausklammern, Satz vom Nullprodukt" sicherlich einfacher!

Answer 2

Hallo

 überall wo man x ausklammern kann , das als Produkt schreiben, dann muss jeder der Faktoren 0 sein,

a) x=0 oder x^2+1=0 das zweite hat keine Lösung also nur x=0

b und c  x^2=z dann für z die pqformel, am Ende noch die Wurzeln aus z,

d)x ausklammern f(x)=x*(2x^2+10x+12) 1. x=0,  2. (2x^2+10x+12)=0 durch 2 dividieren, dann pq Formel.

e) x^2 ausklammern, f) hat schon Klammern, die alle Null sein können.

Gruß lul